![Logo Matematická biologie](images/logo-matbiol.png)
Rychlost konvergence ke stabilizované struktuře
Buď největší z modulů vlastních hodnot matice
menších než
; v případě
klademe
Koeficient tlumení (dumping ratio) definujeme jako
pro klademe
Zřejmě je
Porovnáním s výsledky oddílu Řešení projekční rovnice vidíme, že existuje konstanta
taková, že
|
(24) |
pro libovolnou normu na
ekvivalentní s euklidovskou. Koeficient tlumení tedy vyjadřuje rychlost konvergence ke stabilizované struktuře.
V případě primitivní matice lze nerovnost Modely s konstantní projekční maticí (24) přepsat na tvar
Ke každému nezápornému vektoru tedy existuje konstanta
taková, že
Odtud dále plyne, že existuje kladná konstanta taková, že
|
(25) |
pro všechna Tato vlastnost umožňuje zformulovat a dokázat jeden výsledek z teorie primitivních matic:
Věta 2.3. Buď primitivní matice typu
její dominantní vlastní hodnota,
resp.
její pravý, resp. levý, vlastní vektor příslušný k dominantní vlastní hodnotě, tj.
a nechť platí Pak matice
je regulární a řada
absolutně konverguje. Přitom platí
|
(26) |
Důkaz. Buďte
libovolné indexy. Pak platí
a tedy s využitím binomické věty dostaneme
|
|
Řada
konverguje absolutně, neboť podle nerovnosti Modely s konstantní projekční maticí (25) je majorizována konvergentní řadou. Z předchozího výpočtu plyne, že absolutně konverguje ke stejnému součtu také geometrická řada
Platí tedy
|
což je dokazovaná rovnost Modely s konstantní projekční maticí (26).