Všechny matice v tomto oddílu budou typu všechny vektory budou -rozměrné. Symbol resp. bude označovat matici, jejíž složky jsou , resp. vektor, jehož složky jsou Dále budeme zapisovat

a podobně.

Symbol bude označovat jednotkovou matici. Pro matici a vektor dále klademe

je zřejmě vektorový prostor dimenze nejvýše tj. je eukleidovská norma vektoru

Definice 1.1. Matice se nazývá nezáporná, je-li a nazývá se kladná, je-li

Definice 1.2. Nezáporná matice se nazývá

primitivní, pokud
imprimitivní, pokud není primitivní, tj.

reducibilní, pokud

ireducibilní, pokud není reducibilní, tj.

Poznámka 1.3. Přímo z definice plyne, že každá primitivní matice je ireducibilní a každá reducibilní matice je imprimitivní. Třídu nezáporných matic lze tedy rozložit na tři disjunktní části: matice reducibilní, matice primitivní a matice současně ireducibilní a imprimitivní.

Tvrzení 1.4. Je-li a pak
Je-li a existuje takové, že pak

Důkaz. Plyne bezprostředně z vyjádření

Tvrzení 1.5. Je-li vlastní vektor matice příslušný k vlastní hodnotě a pak a

Důkaz. Poněvadž je vlastním vektorem, je a tedy existuje takový index, že Podle druhé části tvrzení Dodatek 1.4 je To znamená, že pro každý index je Zejména tedy z čehož plyne, že neboť Dále pro libovolný index je neboť

Tvrzení 1.6. Je-li primitivní a její vlastní vektor příslušný k vlastní hodnotě pak

Důkaz. Z tvrzení Dodatek 1.4 plyne, že takže Poněvadž je primitivní, existuje takové, že

Poněvadž je také Tvrzení Dodatek 1.5 nyní implikuje a takže

Tvrzení 1.7. Nechť matice splňuje předpoklady

existuje číslo a vektor tak, že (vektor je vlastní vektor matice příslušný k vlastní hodnotě který má všechny složky kladné);
existuje číslo a vektor tak, že (vektor je vlastní vektor matice příslušný k vlastní hodnotě který má všechny složky nezáporné a alespoň jednu kladnou).

Pak

Důkaz. Platí

Z kladnosti vektoru a z nezápornosti a nenulovosti vektoru plyne Výraz lze tedy v poslední rovnosti vykrátit, takže

Tvrzení 1.8. Nechť

splňuje předpoklady ii. a iii. tvrzení Dodatek 1.7 (z nerovnosti

plyne i splnění předpokladu i.) a symboly

mají stejný význam jako v tvrzení Dodatek 1.7. Je-li

vlastní vektor matice

příslušný k vlastní hodnotě pak existuje číslo

takové, že tj.

Důkaz. Buď

vektor z tvrzení Dodatok 1.5. Pak je

Položme

Pro každý index tedy platí Odtud plyne

(1)

takže

Dále platí

To znamená, že vektor je buď vlastním vektorem příslušným k vlastní hodnotě nebo platí Nezáporný vlastní vektor je podle tvrzení Dodatek 1.5 kladný a podle Dodatek (1) má vektor alespoň jednu složku nulovou, nemůže tedy být vlastním vektorem. Nastává tedy druhá z vylučujících se možností,

Tvrzení 1.9. Nechť

je vlastní vektor příslušný k vlastní hodnotě

Pak

(2)

tj.

Důkaz. Nerovnost je trojúhelníková.

Tvrzení 1.10. Nechť Pak množina

je neprázdná a shora omezená.

Důkaz. Buď

libovolný nezáporný vektor takový, že Podle tvrzení Dodatek 1.4 je

takže

Buď a příslušný vektor, který existuje podle definice množiny Nechť je takový index, že Pak je a

tedy

a je horní závora množiny

Tvrzení 1.11. Nechť je množina zavedená v tvrzení Dodatek 1.9 a Pak pro každý vektor

platí

Důkaz. Nulový vektor splňuje uvedenou nerovnost triviálně. Připusťme, že existuje nenulový vektor splňující nerovnost a položme

Pak je a

Položíme-li

dostaneme, že a

takže což je ve sporu s definicí suprema.

Tvrzení 1.12. Nechť Pro každou její vlastní hodnotu

platí

Důkaz. Buď

vlastní hodnota matice

příslušný vlastní vektor. Podle tvrzení Dodatek 1.9 a Dodatek 1.10 je Poněvadž

jakožto vlastní vektor je nenulový, existuje index

takový, že Z předchozí nerovnosti nyní dostaneme a z toho dále plyne, že

Tvrzení 1.13. Nechť a Pak je vlastní hodnotou matice

a příslušný vlastní vektor

Důkaz. Nejprve ukážeme, že množina je kompaktní: Z trojúhelníkové nerovnosti pro normu plyne, že pro vektory platí

takže množina je ohraničená.

Buď posloupnost vektorů konvergující k vektoru v prostoru s metrikou určenou euklidovskou normou, tj. pro každý index platí

Poněvadž je také tj. Z toho, že zobrazení dané předpisem je spojité, plyne podle Heineovy podmínky tj. Celkem tedy dostáváme, že Množina s konvergentní posloupností obsahuje i její limitu, takže tato množina je také uzavřená.

Hodnota je limitou posloupnosti čísel z množiny tj. existuje posloupnost taková, že K číslům existují vektory takové, že

(3)

(4)

Relace Dodatek (3) říkají, že všechny vektory jsou prvky množiny Z její kompaktnosti plyne, že existuje posloupnost vybraná z posloupnosti vektorů taková, že Z první relace Dodatek (4) dále plyne tj.

Z Dodatek (4) plyne

Poněvadž lineární zobrazení je spojité, dostaneme limitním přechodem z poslední nerovnosti nerovnost

Z ní s využitím tvrzení Dodatek 1.11 dostaneme což znamená, že je vlastní vektor příslušný k vlastní hodnotě

Tvrzení 1.14. Nechť je primitivní. Pak existuje vlastní hodnota matice

taková, že příslušný vlastní vektor a pro každou vlastní hodnotu matice

platí

Důkaz. Položíme kde je množina zavedená v tvrzení Dodatek 1.10. Podle tvrzení Dodatek 1.13 je vlastní hodnotou matice

a příslušný vlastní vektor Podle tvrzení Dodatek 1.6 je a

Matice je také primitivní. Stejnou úvahou ukážeme, že existuje vlastní hodnota matice a příslušný vlastní vektor Z tvrzení Dodatek 1.7 dostaneme rovnost

Poněvadž matice je primitivní, existuje takové, že Úvahy lze zopakovat pro matici a její vlastní hodnoty Tím se ukáže, že matice splňuje předpoklady tvrzení Dodatek 1.8. Jsou-li nyní a dva vlastní vektory matice příslušné k vlastní hodnotě platí

takže podle tvrzení Dodatek 1.8 je vektor násobkem vektoru , tj.

Podle tvrzení Dodatek 1.12 nemá matice vlastní hodnoty s absolutní hodnotou větší než Buď vlastní hodnota matice taková, že a příslušný vlastní vektor. Z tvrzení Dodatek 1.9 dostaneme z čehož podle tvrzení Dodatek 1.11 plyne

(5)

To znamená, že takže podle již dokázaného, je vektor násobkem vektoru a poněvadž je také

(6)

Dále pro libovolný index platí

V trojúhelníkové nerovnosti tedy nastává rovnost, což znamená, že argumenty všech sčítanců jsou stejné, pro všechny indexy Protože tj. je také tj. a Dále Vzhledem k Dodatek (6) je Nyní s využitím Dodatek (5) dostaneme