Dodatek: Perronova-Frobeniova teorie
Všechny matice v tomto oddílu budou typu všechny vektory budou
-rozměrné. Symbol
resp.
bude označovat matici, jejíž složky jsou
, resp. vektor, jehož složky jsou
Dále budeme zapisovat
Symbol bude označovat jednotkovou matici. Pro matici
a vektor
dále klademe
je zřejmě vektorový prostor dimenze nejvýše
tj.
je eukleidovská norma vektoru
Definice 1.1. Matice se nazývá nezáporná, je-li
a nazývá se kladná, je-li
Definice 1.2. Nezáporná matice se nazývá
- primitivní, pokud
- imprimitivní, pokud není primitivní, tj.
- reducibilní, pokud
- ireducibilní, pokud není reducibilní, tj.
Tvrzení 1.4. Je-li a
pak
Je-li
a existuje
takové, že
pak
Důkaz. Plyne bezprostředně z vyjádření
Tvrzení 1.5. Je-li
vlastní vektor matice
příslušný k vlastní hodnotě
a
pak
a
Důkaz. Poněvadž je vlastním vektorem, je
a tedy existuje
takový index, že
Podle druhé části tvrzení Dodatek 1.4 je
To znamená, že pro každý index
je
Zejména tedy
z čehož plyne, že
neboť
Dále pro libovolný index
je
neboť
Tvrzení 1.6. Je-li primitivní a
její vlastní vektor příslušný k vlastní hodnotě
pak
Důkaz. Z tvrzení Dodatek 1.4 plyne, že takže
Poněvadž
je primitivní, existuje
takové, že
Poněvadž je také
Tvrzení Dodatek 1.5 nyní implikuje
a
takže
Tvrzení 1.7. Nechť matice splňuje předpoklady
- existuje číslo
a vektor
tak, že
(vektor
je vlastní vektor matice
příslušný k vlastní hodnotě
který má všechny složky kladné);
- existuje číslo
a vektor
tak, že
(vektor
je vlastní vektor matice
příslušný k vlastní hodnotě
který má všechny složky nezáporné a alespoň jednu kladnou).
Pak
Důkaz. Platí
Z kladnosti vektoru a z nezápornosti a nenulovosti vektoru
plyne
Výraz
lze tedy v poslední rovnosti vykrátit, takže
Pro každý index tedy platí
Odtud plyne
|
(1) |
takže
To znamená, že vektor je buď vlastním vektorem příslušným k vlastní hodnotě
nebo platí
Nezáporný vlastní vektor je podle tvrzení Dodatek 1.5 kladný a podle Dodatek (1) má vektor
alespoň jednu složku nulovou, nemůže tedy být vlastním vektorem. Nastává tedy druhá z vylučujících se možností,
Buď a
příslušný vektor, který existuje podle definice množiny
Nechť
je takový index, že
Pak je
a
tedy
a je horní závora množiny
Důkaz. Nulový vektor splňuje uvedenou nerovnost triviálně. Připusťme, že existuje nenulový vektor splňující nerovnost
a položme
Pak je a
|
||
|
||
|
Položíme-li
dostaneme, že a
takže což je ve sporu s definicí suprema.
takže množina je ohraničená.
Buď posloupnost vektorů konvergující k vektoru
v prostoru
s metrikou určenou euklidovskou normou, tj. pro každý index
platí
Poněvadž je také
tj.
Z toho, že zobrazení
dané předpisem
je spojité, plyne podle Heineovy podmínky
tj.
Celkem tedy dostáváme, že
Množina
s konvergentní posloupností obsahuje i její limitu, takže tato množina je také uzavřená.
Hodnota je limitou posloupnosti čísel z množiny
tj. existuje posloupnost
taková, že
K číslům
existují vektory
takové, že
|
(3) |
a
|
(4) |
Relace Dodatek (3) říkají, že všechny vektory jsou prvky množiny
Z její kompaktnosti plyne, že existuje posloupnost
vybraná z posloupnosti vektorů
taková, že
Z první relace Dodatek (4) dále plyne
tj.
Z Dodatek (4) plyne
Poněvadž lineární zobrazení je spojité, dostaneme limitním přechodem z poslední nerovnosti nerovnost
Z ní s využitím tvrzení Dodatek 1.11 dostaneme což znamená, že
je vlastní vektor příslušný k vlastní hodnotě
Matice je také primitivní. Stejnou úvahou ukážeme, že existuje
vlastní hodnota matice
a příslušný vlastní vektor
Z tvrzení Dodatek 1.7 dostaneme rovnost
Poněvadž matice je primitivní, existuje
takové, že
Úvahy lze zopakovat pro matici
a její vlastní hodnoty
Tím se ukáže, že matice
splňuje předpoklady tvrzení Dodatek 1.8. Jsou-li nyní
a
dva vlastní vektory matice
příslušné k vlastní hodnotě
platí
takže podle tvrzení Dodatek 1.8 je vektor násobkem vektoru
, tj.
Podle tvrzení Dodatek 1.12 nemá matice vlastní hodnoty s absolutní hodnotou větší než
Buď
vlastní hodnota matice
taková, že
a
příslušný vlastní vektor. Z tvrzení Dodatek 1.9 dostaneme
z čehož podle tvrzení Dodatek 1.11 plyne
|
(5) |
To znamená, že takže podle již dokázaného, je vektor
násobkem vektoru
a poněvadž
je také
|
(6) |
Dále pro libovolný index platí
V trojúhelníkové nerovnosti tedy nastává rovnost, což znamená, že argumenty všech sčítanců jsou stejné, pro všechny indexy
Protože
tj.
je také
tj.
a
Dále
Vzhledem k Dodatek (6) je
Nyní s využitím Dodatek (5) dostaneme
takže
Důkaz. Nechť je vlastní vektor příslušný k vlastní hodnotě
tj.
Podle tvrzení Dodatek 1.9 a Dodatek 1.10 je
takže
|
(7) |
Položme
tj. pokud
Pak
pro každý index
a dále
tedy
|
|
|
a s využitím Dodatek (7) Položme
Pak
Poněvadž
je také
tedy
Celkem s využitím trojúhelníkové nerovnosti dostaneme
V trojúhelníkové nerovnosti nastává rovnost
což znamená, že a
mají stejné argumenty, tedy
Dále
tj.
a odtud plyne tvrzení.