Aperiodická variabilita

Uvažujme model vývoje populace strukturované do tříd s časově závislou projekční maticí

(6)

přitom matice je pro každé nezáporná. Řešením této rovnice s počáteční hodnotou je

(7)

Abychom mohli model Modely s externí variabilitou (6) nějak analyzovat, potřebujeme zavést několik dalších pojmů z teorie nezáporných matic.

Hilbertova projektivní pseudometrika je definována pro každou dvojici nezáporných vektorů se stejným nosičem, tj. takových, že právě tehdy, když Pseudometrika je definována vztahem

Tvrzení 3.1. Pseudometrika  má vlastnosti:

1. pro všechny přípustné vektory
    
2. pro všechny přípustné vektory
    
3. pro všechny přípustné vektory
    
4. právě tehdy, když pro nějaké
    
5. pro všechny přípustné vektory a kladná čísla
    
6. Pro každou nezápornou čtvercovou matici a všechny přípustné vektory platí Je-li je tato nerovnost ostrá.

Důkaz.

1. Tvrzení plyne přímo z definice zobrazení
    
2. Pro nulové vektory je symetrie zřejmá z definice. Pokud platí

neboť vektory a mají stejné nosiče. Dále

a z toho již plyne tvrzení.

3. Je-li některý z vektorů nulový, jsou nulové všechny a nerovnost je triviální. V opačném případě

4. Je-li , pak

a z toho dále plyne, že všechny hodnoty jsou stejné, a tedy rovny nějaké konstantě Opačná implikace je zřejmá.

5. a podobně pro minimum.
    
6. Nechť je libovolný index takový, že Pak platí

a poněvadž

je hodnota váženým průměrem hodnot z množiny To znamená, že

(8)

pro všechny indexy takové, že Odtud dále plyne, že

což je ekvivalentní s dokazovanou nerovností.

Pokud je pak podle již dokázané vlastnosti 4. je alespoň jedna z nerovností v Modely s externí variabilitou (8) ostrá.

Vlastnosti 1., 2., a 3. jsou axiomy pseudometriky. Vlastnosti 4. a 5. říkají, že pseudometrika nerozlišuje (stotožňuje) vektory, které se liší pouze velikostí, nikoliv směrem. Z vlastnosti 6. plyne, že pro všechny přípustné vektory a nezáporné matice platí nerovnost

neboli, že násobení nezápornou maticí nezvětšuje Hilbertovu pseudovzdálenost vektorů. To nám dále umožňuje pro nezápornou matici definovat Birkhoffův kontrakční koeficient

Tvrzení 3.2. Koeficient má vlastnosti:

1. pro všechny přípustné vektory a všechny nezáporné matice
    
2. Pro nezáporné čtvercové matice platí
    
3. Pro nezápornou nenulovou matici platí, že právě tehdy, když kde je nějaká konstanta a jsou levý a pravý vlastní vektor matice příslušné k její dominantní vlastní hodnotě.
    
4. Je-li pak

Důkaz.

1. Plyne přímo z definice koeficientu a z vlastností pseudometriky
    
2. Poněvadž podle tvrzení Modely s externí variabilitou 3.1.6. platí je

Z toho, že dále dostaneme

3. Nechť Pak pro všechny vektory splňující podmínku platí což vzhledem k vlastnosti Modely s externí variabilitou 3.1.4 pseudometriky znamená, že existuje číslo takové, že Násobení maticí tedy zobrazuje všechny vektory se stejným nosičem do jednorozměrného prostoru a z toho dále plyne, že hodnost matice je 1. Všechny sloupce matice jsou tedy násobkem nějakého nezáporného a nenulového vektoru tj. Přitom neboť Nechť nyní je vlastní vektor matice příslušný k dominantní vlastní hodnotě Pak

Dále platí

Odtud dostáváme, že

Nechť Pak pro libovolné vektory platí

takže

což podle tvrzení Modely s externí variabilitou 3.1.4 znamená, že

4. Např. J. E. Carroll, Birkhoff's contraction coefficient. Linear Algebra and its Applications 389 (2004) 227-234.

Vrátíme se nyní k rovnici Modely s externí variabilitou (6) a jejímu řešení Modely s externí variabilitou (7). Položme

Řekneme, že posloupnost matic je slabě ergodická, pokud

Pro každé dva nezáporné vektory se stejným nosičem podle tvrzení Modely s externí variabilitou 3.2.1 platí

takže z věty o třech posloupnostech plyne

pro slabě ergodickou posloupnost matic Pokud je tedy posloupnost matic slabě ergodická, pak řešení rovnice Modely s externí variabilitou (6) mají pro libovolné počáteční podmínky asymptoticky ekvivalentní směr. Z vlastnosti Modely s externí variabilitou 3.2.3 můžeme usoudit, že slabě ergodická posloupnost matic je asymptoticky ekvivalentní s posloupností matic kde  je dominantní vlastní hodnota matice a resp. je příslušné levý, resp. pravý, vlastní vektor. Řešení rovnice Modely s externí variabilitou (1) je tedy asymptoticky ekvivalentní s posloupností vektorů

Slabě ergodická poslupnost matic je tedy jistým zobecněním pojmu primitivní matice. Přesněji:

Pokud je matice v rovnici Modely s externí variabilitou (6) konstantní a primitivní, tj. pro všechna a existuje takové, že pak je posloupnost matic slabě ergodická.

Důkaz: Podle tvrzení Modely s externí variabilitou 3.2.1 a Modely s externí variabilitou 3.2.2 je

Poněvadž podle Modely s externí variabilitou 3.2.4 je je takže také

Nechť jsou všechny matice v rovnici Modely s externí variabilitou (6) primitivní a mají stejnou incidenční matici, tj. pro všechna a všechny dvojice indexů  platí, že právě tehdy, když Pokud existuje konstanta taková, že

(9)

pak je posloupnost matic slabě ergodická. Podmínka Modely s externí variabilitou (9) říká, že variabilita prostředí není taková, že by některý koeficient projekční matice „téměř vymizel“.