Slovník | Vyhledávání | Mapa webu
 
Analýza a modelování dynamických biologických datSpojité deterministické modely I Základní modely populační dynamiky Malthusovský model růstu populace

Logo Matematická biologie

Malthusovský model růstu populace

Thomas Robert Malthus v roce 1798 vydal ekonomickou úvahu An Essay on the Principle of Population, as it affects the future improvement of society with remarks on the speculations of Mr. Godwin, M. Condorcet, and other writers. Tato práce ovlivnila velké množství vědců, mimo jiné je citována také Charlesem Darwinem. Malthusovským modelem rozumíme model

(1)

který modeluje pro kladnou specifickou míru růstu exponenciálně rostoucí populaci. Malthus ve své ekonomicko sociální úvaze poukazoval na to, že exponenciálně rostoucí populace naráží na hranici, které dnes říkáme kapacita prostředí, a že tedy nutně časem dojde ke snížení množství potravy a statků obecně na jednoho obyvatele, následkem čehož bude chudoba.

Z hlediska matematického můžeme uvažovat model Základní modely populační dynamiky (1) i pro Jde o separovatelnou rovnici (a to i v případě, že bude funkcí času). Řešením je funkce

pro velikost populace esponenciálně vzrůstá, pro naopak vymírá. Popřemýšlejte, jak tomu bude v případě, že  je funkcí času.

Příklad. Uvažujme model růstu bylinek z první kapitoly modelovaný rovnicí 

s počáteční podmínkou a chtěli bychom předpovědět, kdy bude populace bylinek dosahovat maxima. K tomu stačí vyřešit lineární diferenciální rovnici (např. metodou variace konstanty). Homogenní úloha má tvar a její obecné řešení je tvaru Řešení nehomogenní lineární rovnice hledáme ve tvaru   tj.

odtud

Integrací per partes pak

Obecné řešení je tedy

Z počáteční podmínky pak tj. a řešení Cauchyovy úlohy je

Maxima bude dosahovat pokud protože a funkce je v konkávní. Odtud

 
vytvořil Institut biostatistiky a analýz Masarykovy univerzity | | zpětné odkazy | validní XHTML 1.0 Strict