Slovník | Vyhledávání | Mapa webu
 
Analýza a modelování dynamických biologických datSpojité deterministické modely I Lineární rovnice Homogenní lineární systém s konstantní maticí Metoda vlastních vektorů

Logo Matematická biologie

Metoda vlastních vektorů

Systém rovnic Lineární rovnice (7) můžeme řešit také pomocí převedení matice  na Jordanův kanonický tvar. Připomeňme, že matici lze převést na Jordanovu matici , což je matice nul, která má na diagonále tzv. Jordanovy buňky (submatice s vlastními čísly na diagonále, případně jedničkami nad ní, viz učivo lineární algebry). Pro převod matice na Jordanův tvar se používá regulární matice , pro kterou platí

V případě různých vlastních čísel je zřejmé, že sloupce matice  jsou postupně všechny (nezávislé) vlastní vektory příslušné všem vlastním hodnotám. V případě -násobných vlastních hodnot  (jde o algebraickou násobnost vlastního čísla ) se používá tzv. zobecněných vlastních vektorů pro které platí

Substituce  převádí rovnici Lineární rovnice (7) na rovnici

jejíž řešení lze nalézt "zespodu" elementárními metodami.

Příklad 4.1. Řešme rovnici Lineární rovnice (7) s maticí se dvěma reálnými různými vlastními čísly Vlastní vektory tedy splňují a Substituce  převádí úlohu na dvě elementární rovnice

které mají obecné řešení Platí tedy

odtud

což je v naprostém souladu s (i) odstavce v časti Obecné řešení.

Příklad 4.2. Řešme rovnici Lineárné rovnice (7) s maticí 2x2 se dvěma reálnými vlastními čísly  algebraické násobnosti 2. Vlastní vektor příslušný  splňuje a zobecněný vlastní vektor splňuje Substituce  převádí úlohu na dvě elementární rovnice 

jejichž obecné řešení lze odspodu vypočítat: a pak splňuje  Metodou variace konstanty dostáváme řešení ve tvaru kde Odtud Platí tedy

odtud

což je v naprostém souladu s (ii) odstavce v částí Obecné řešení.

Příklad 4.3. Řešme rovnici Lineární rovnice (7) s maticí 2x2 se dvěma komplexně sdruženými vlastními čísly Vlastní vektory jsou také komplexně sdružené, tj. Substituce  převádí úlohu na dvě rovnice

jejichž řešení jsou v komplexním oboru:  a   Platí tedy

odtud

což je v naprostém souladu s (iii) odstavce Obecné řešení. Pokud navíc rozepíšeme vektor na reálnou a imaginární složku, dostáváme

 

 
 

kde jsou obecně komplexní konstanty, volbou reálných   tak dostáváme všechny reálné lineární kombinace dvou reálných řešení ve tvaru

 

Úlohy k procvičení

 
vytvořil Institut biostatistiky a analýz Masarykovy univerzity | | zpětné odkazy | validní XHTML 1.0 Strict