Metoda vlastních vektorů
Systém rovnic Lineární rovnice (7) můžeme řešit také pomocí převedení matice 
na Jordanův kanonický tvar. Připomeňme, že matici lze převést na Jordanovu matici 
, což je matice nul, která má na diagonále tzv. Jordanovy buňky (submatice s vlastními čísly na diagonále, případně jedničkami nad ní, viz učivo lineární algebry). Pro převod matice na Jordanův tvar se používá regulární matice 
, pro kterou platí
V případě různých vlastních čísel je zřejmé, že sloupce matice jsou postupně všechny (nezávislé) vlastní vektory příslušné všem vlastním hodnotám. V případě 
-násobných vlastních hodnot (jde o algebraickou násobnost vlastního čísla 
) se používá tzv. zobecněných vlastních vektorů 
pro které platí 
Substituce 
převádí rovnici Lineární rovnice (7) na rovnici
jejíž řešení lze nalézt "zespodu" elementárními metodami.
Příklad 4.1. Řešme rovnici Lineární rovnice (7) s maticí 
se dvěma reálnými různými vlastními čísly 
Vlastní vektory tedy splňují 
a 
Substituce 
převádí úlohu na dvě elementární rovnice
které mají obecné řešení 
Platí tedy
odtud
což je v naprostém souladu s (i) odstavce v časti Obecné řešení.
Příklad 4.2. Řešme rovnici Lineárné rovnice (7) s maticí 2x2 se dvěma reálnými vlastními čísly 
algebraické násobnosti 2. Vlastní vektor příslušný 
splňuje a zobecněný vlastní vektor splňuje 
Substituce převádí úlohu na dvě elementární rovnice
jejichž obecné řešení lze odspodu vypočítat: 
a 
pak splňuje 
Metodou variace konstanty dostáváme řešení ve tvaru 
kde 
Odtud 
Platí tedy
odtud
což je v naprostém souladu s (ii) odstavce v částí Obecné řešení.
Příklad 4.3. Řešme rovnici Lineární rovnice (7) s maticí 2x2 se dvěma komplexně sdruženými vlastními čísly 
Vlastní vektory jsou také komplexně sdružené, tj. 
Substituce převádí úlohu na dvě rovnice
jejichž řešení jsou v komplexním oboru: 
a 
Platí tedy
odtud
což je v naprostém souladu s (iii) odstavce Obecné řešení. Pokud navíc rozepíšeme vektor 
na reálnou a imaginární složku, dostáváme
kde 
jsou obecně komplexní konstanty, volbou reálných tak dostáváme všechny reálné lineární kombinace dvou reálných řešení ve tvaru
