Lineární a adaptivní zpracování dat |
Lineární a adaptivní zpracování dat: řešené úlohy v MATLABu |
Matematické modely v biologii |
Maticové populační modely |
Signály a lineární systémy |
Spojité deterministické modely I |
Obyčejné diferenciální rovnice |
Diskrétní deterministické modely |
Úvod do matematického modelování |
Vybrané kapitoly z matematického modelování |
Výstupy z výukové jednotky |
Obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu |
Základní pojmy |
Systémy diferenciálních rovnic a rovnice vyššího řádu |
Elementární metody řešení |
Výstupy z výukové jednotky |
Metoda přímé integrace |
Rovnice se separovanými proměnnými |
Homogenní rovnice |
Lineární rovnice |
Bernoulliova rovnice |
Další metody řešení vybraných typů obyčejných diferenciálních rovnic |
Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic |
Výstupy z výukové jednotky |
Existence a jednoznačnost řešení systému ODR |
Picardova metoda postupných aproximací |
Globální vlastnosti řešení systému ODR |
Odhady řešení |
Lineární rovnice |
Výstupy z výukové jednotky |
Systémy lineárních ODR |
Princip superpozice |
Metoda variace konstant |
Homogenní lineární systém s konstantní maticí |
Laplaceova transformace |
Řešení počátečního problému metodou postupných aproximací |
Obecné řešení |
Metoda vlastních vektorů |
Úlohy k procvičení |
Lineární diferenciální rovnice vyššího řádu |
Metoda variace konstant |
Převedení systému lineárních diferenciálních rovnic na rovnici vyššího řádu |
Nalezení fundamentálního systému řešení rovnice druhého řádu v případě, že jedno řešení je zn |
Úlohy k procvičení |
Lineární rovnice s konstantními koeficienty |
Homogenní lineární rovnice s konstantními koeficienty |
Partikulární řešení nehomogenní lineární rovnice s konstantními koeficienty a se speciální prav |
Úlohy k procvičení |
Eulerova a Riccatiho diferenciální rovnice |
Výstupy z výukové jednotky |
Laplaceova transformace |
Základní vlastnosti Laplaceovy transformace |
Užití Laplaceovy transformace na řešení diferenciálních rovnic |
Autonomní systémy a kvalitativní teorie |
Výstupy z výukové jednotky |
Autonomní systémy |
Autonomní systémy v rovině |
Autonomní systémy v rovině 2 |
Stabilita |
Přímá Ljapunovova metoda |
Konzervativní systémy |
Některé klasické úlohy |
Výstupy z výukové jednotky |
Traktrisa |
Ciolkovského rovnice |
Archimédova úloha |
Romeo a Julie |
Psí křivka |
Nerelativistický model nestacionárního Vesmíru |
Epidemiologický model Daniela Bernoulliho |
Základní modely populační dynamiky |
Výstupy z výukové jednotky |
Malthusovský model růstu populace |
Verhulstův model růstu populace |
Další modely růstu populace |
Lotkovy-Volterrovy systémy |
Richardsova rovnice |
Smithova rovnice |
Gompertzova rovnice |
Model růstu kulovitých bakterií |
Udržitelný rybolov |
Alleeho efekt |
Rybolov s konstantním úlovkem za jednotku času |
Rybolov s konstantním úsilím |
Optimalizace udržitelného rybolovu |
Úlohy k procvičení |
Výstupy z výukové jednotky |
Lotkovy-Volterrovy systémy |
Obecné vlastnosti Lotkových-Volterrových systémů |
Koloběh dusíku v planktonu |
Trofický řetězec |
Epidemiologické modely |
Biochemické modely |
Výstupy z výukové jednotky |
Základy chemické kinetiky |
Základní modely enzymatické kinetiky |
Biochemické přepínače |
Chemické oscilace |
Reálné biochemické děje |
Dynamika excitabilních systémů |
Výstupy z výukové jednotky |
Přenos signálu v neuronu |
FitzHughův-Nagumův model neuronu |
Hodgkinův-Huxleyho model neuronu |
Šíření vln v excitabilních systémech |
Evoluční dynamika a vývoj vzorců chování |
Výstupy z výukové jednotky |
Základní pojmy teorie her |
Evoluční hry a model jestřáb-holubice |
Replikátorové rovnice |
Literatura |
Nalezení fundamentálního systému řešení rovnice druhého řádu v případě, že jedno řešení je známé (D'Alembertova metoda)
Uvažujme rovnici
a předpokládejme, že známe jedno její nekonstantní řešení Zavedeme substituci
Pak
tedy
|
|
což je Rovnice typu F(t,x',x'' ...)=0 pro neznámou funkci Položíme
Pak
Pro řešení této rovnice se separovanými proměnnými platí
|
|
|
takže
Volbou a integrací dostaneme
a tedy druhé řešení dané rovnice je
Poněvadž platí
|
|
|
jsou funkce
lineárně nezávislé a tedy tvoří fundamentální systém řešení dané rovnice.
