Slovník | Vyhledávání | Mapa webu
 
Analýza a modelování dynamických biologických datSpojité deterministické modely I Obyčejné diferenciální rovnice Obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu

Logo Matematická biologie

Obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu

Převážně budeme pracovat s reálnými funkcemi jedné reálné proměnné, kterou označíme . Je-li , budeme psát  nebo . Obyčejnou derivaci funkce  v bodě  (v čase ) značíme  nebo jako podíl diferenciálů, tedy  Zápis  označuje derivaci funkce  v obecném bodě. Můžeme tedy psát  a obecně pro -tou derivaci   nebo stručně .
 
 
Příklad: Uveďme si nyní příklad, na kterém si jednotlivé pojmy představíme. Pěstujeme bylinky. To je reálný proces probíhající v čase. Reálná funkce  bude představovat množství biomasy v čase . Derivace   představuje okamžitý přírůstek, okamžitou změnu množství biomasy neboli rychlost růstu našich bylinek. Druhá derivace je změna této rychlosti.  Proč tomu tak je? 
 
Budeme nejprve předpokládat, že bylinky denně plynule rostou stále stejně rychle. Můžeme tedy uvažovat spojitý čas (v jednotkách dnů). Změna množství bylinek za jeden den je 
 
 
Pokud budeme předpokládat, že ani během dne se rychlost růstu nemění (to je jistě idealizace), pak za čas  bude přírůstek biomasy
 
 
Tedy i limitně platí
 
 
Derivace je tedy okamžitou rychlostí růstu neboli změnou množství  za nekonečně malý časový interval. Druhá derivace je analogicky okamžitá změna této rychlosti, okamžité zrychlení, akcelerace tohoto růstu. Pokud bylinky nebudou růst stále stejně rychle, bude rychlost jejich růstu nekonstantní funkcí času. Budeme-li například bylinky hnojit, můžeme tím zvyšovat rychlost jejich růstu, Pokud je napadnou mšice, bude naopak , přestože bylinky i tak asi porostou.
 
 
Definice 1.1. Nechť je množina s neprázdným vnitřkem,   je funkce tří proměnných. Rovnice
 
 
se nazývá obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu (zkráceně ODR 1. řádu). 
Řešením této rovnice se rozumí diferencovatelná funkce , kde  je interval, která splňuje
podmínky
 
 
Uvedená rovnice se nazývá implicitní nebo nerozřešená vzhledem k derivaci. Pokud se podaří derivaci  z rovnice
vyjádřit, dostaneme explicitní rovnici nebo rovnici rozřešenou vzhledem k derivaci.
 
 
Poznámka 1.2. V teorii dynamických systémů (signálů) se velmi často používá jiné obecnější definice obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu, kde funkce  má ještě další dvě složky, tj. . Rovnice
 
 
pak představuje diferenciální rovnici 1. řádu, kde   je funkce představující vstup a řešení  výstup dynamického systému. Řešení  (výstup) obecně závisí na vstupní funkci .
Z matematického hlediska ji můžeme vnímat jako parametr systému, z hlediska dynamického systému je ale vstup "vně" tohoto systému, protože jej většinou můžeme ovlivňovat, na rozdíl od systému samotného. Můžeme si představit příklad dynamického systému našich bylinek, vstupní funkcí může být funkce zalití, která bude ovlivňovat systém a jeho řešení, růst bylinek. Vstupní funkci (zalévání) můžeme vnímat a zapsat jako parametr systému nebo jej vnímat jako vnější vstup.
 
 
Definice 1.3. Buď  množina s neprázdným vnitřkem, Rovnice
                                                         
se nazývá obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu rozřešená vzhledem k derivaci
Řešením této rovnice se rozumí diferencovatelná funkce , kde  je interval, která splňuje
podmínky
 
 
Graf řešení rovnice Obyčejné diferenciální rovnice (1) se nazývá integrální křivka.
 
Definice 1.4.  Nechť ,  mají stejný význam jako v definici Obyčejné diferenciální rovnice 1.3 a nechť  je libovolný bod. Úloha najít řešení rovnice Obyčejné diferenciální rovnice (1), které splňuje podmínku
 
                                                             

(2)

 
se nazývá počáteční nebo Cauchyova úloha, podmínka Obyčejné diferenciální rovnice (2) se nazývá počáteční nebo Cauchyova podmínka.
 
Příklad: Vraťme se k našim bylinkám. Když za jeden den vyrostou bylinky o 5%, můžeme růst bylinek modelovat diferenciální rovnicí  rozřešenou vzhledem k derivaci, kde čas  běží spojitě (v jednotkách dnů) a vystupuje skrze proměnnou biomasu. Rovnice, kde čas explicitně nevystupuje se nazývají autonomní. Pokud budeme bylinky každý den spotřebovávat, přičemž např. naše spotřeba bude narůstat každý den o 2 gramy, bude diferenciální rovnicí popisující množství bylinek rovnice
 
                                                                                                        

 

Pokud bychom na začátku měli 100g bylinek (jde tedy o počáteční podmínku ),  bude řešením funkce  (ověřte!) a grafem řešení bude
 
 
Pokud bychom na začátku měli 200g bylinek (jde tedy o počáteční podmínku ), bude řešením funkce  (ověřte!) a grafem řešení bude
 
 
Diferenciální rovnice může mít více řešení.
 

Úlohy k procvičení

 

 
vytvořil Institut biostatistiky a analýz Masarykovy univerzity | | zpětné odkazy | validní XHTML 1.0 Strict