Slovník | Vyhledávání | Mapa webu
 
Analýza a modelování dynamických biologických datSpojité deterministické modely I Laplaceova transformace Základní vlastnosti Laplaceovy transformace

Logo Matematická biologie

Základní vlastnosti Laplaceovy transformace

Věta o linearitě přímé Laplaceovy transformace

Věta 2.1. Nechť jsou předměty standardního typu a jejich obrazy, Nechť dále  jsou libovolné komplexní konstanty. Potom pro všechna komplexní pro která jsou definovány současně všechny obrazy platí 

Důkaz. Plyne z linearity integrálu.

Věta o posunutí v obrazu

Věta 2.2. Nechť   je  předmět  standardního  typu, Nechť je komplexní konstanta. Potom

Důkaz.

s tím, že se samozřejmě mění oblast konvergence tohoto integrálu o uvedené posunutí.

Věta o derivaci obrazu

Věta 2.3. Nechť  je předmět standardního typu,  Potom 

obecněji platí

Důkaz.

Analogicky dostaneme vyšší derivace.

Věta o integraci obrazu

Věta 2.4. Nechť  je předmět standardního typu s indexem růstu   Nechť také funkce má v bodě konečnou limitu zprava. Potom

Důkaz.

Věta o změně měřítka

Věta 2.5. Nechť  je předmět standardního typu,  Nechť je kladná konstanta. Potom také funkce  je předmětem standardního typu a platí

Obdobně ovšem platí

Důkaz. Užitím substituce 

Věta o obrazu derivace

Věta 2.6. Nechť funkce  a její derivace jsou předměty standardního typu a nechť funkce  je spojitá v otevřeném intervalu Označme Pak platí

Důkaz. Užitím metody per partes.

Příklad 2.7. Odvodíme vzorec pro Laplaceův obraz druhé derivace dané funkce.

Za  předpokladů  předchozí  věty platí    Označme Nechť funkce také splňuje předpoklad věty o obrazu derivace, tj. nechť  i  jsou předměty standardního typu a funkce  je spojitá pro všechna Potom ovšem kde Dosadíme-li do poslední rovnice a označíme-li dostaneme

Tento vzorec pro obraz druhé derivace platí za předpokladu, že   a jsou předměty standardního typu a že  i  jsou spojité pro všechna 

Věta o obrazu n-té derivace

Věta 2.8. Nechť je přirozené číslo. Nechť funkce  a všechny její derivace až do -tého řádu včetně jsou předměty standardního typu. Nechť dále funkce  a všechny její derivace až do řádu včetně jsou spojité pro všechna  Označme

pro kde nultá derivace představuje původní funkci, tj. Veličiny nazveme počátečními hodnotami funkce a jejích derivací. Potom platí

Důkaz.  Úplnou matematickou indukcí a použitím předchozí věty.

Věta o obrazu integrálu

Věta 2.9. Nechť  je předmět standardního typu  označme Potom

Důkaz. Přímým dosazením.

Věta o translaci

Věta 2.10. Nechť  je předmět standardního typu. Nechť je nezáporná konstanta. Potom

Důkaz. Přímým dosazením.

V předpokladech věty je již obsaženo, že funkce  je nulová pro všechna záporná a že tedy funkce je nulová pro všechna  Protože však tato okolnost je velice důležitá, bývá užitečné zapamatovat si větu o translaci ve znění, které to lépe zdůrazňuje: 

Do této rovnice můžeme za  dosadit libovolnou funkci po částech spojitou a exponenciálního řádu.

Věty o translaci se často používá k sestrojení obrazů konečných impulsů. Konečným impulsem nazýváme předmět standardního typu, který se rovná nule pro  ( je trváním impulsu). Jde tedy o funkci, která může nabývat hodnot různých od nuly jen v intervalu Pak platí, že

 

Úlohy k procvičení

 
vytvořil Institut biostatistiky a analýz Masarykovy univerzity | | zpětné odkazy | validní XHTML 1.0 Strict