Slovník | Vyhledávání | Mapa webu
 
Analýza a modelování dynamických biologických datSpojité deterministické modely I Některé klasické úlohy Archimédova úloha

Logo Matematická biologie

Archimédova úloha

Určete tvar zrcadla, které odráží rovnoběžné světelné paprsky do jediného bodu (ohniska).

Zvolíme souřadnou soustavu tak, aby ohnisko bylo v jejím počátku přicházející paprsky byly rovnoběžné se svislou osou a směřovaly proti její orientaci (kreslete si obrázek 2. Uvažujme přicházející paprsek který se od zrcadla odráží v libovolném, ale pevně zvoleném bodě Nechť tvar zrcadla je v okolí tohoto bodu popsán funkcí přitom samozřejmě

Obr. 3.1. K Archimédově úloze:  - zrcadlo,  - přicházející paprsek,  - odražený paprsek,  - bod dopadu a odrazu paprsku,  - ohnisko,  - tečna k zrcadlu v bodě dopadu přicházejícího paprsku,  - normála k zrcadlu,  - úhel odrazu. 

Označme resp.  tečnu, resp. normálu, k zrcadlu v bodě přímku incidentní s odraženým paprskem vodorovnou přímku procházející bodem Nechť dále je úhel, který svírá odražený paprsek s normálou  Úhel odrazu se rovná úhlu dopadu a tedy Odtud plyne, že Dále platí Poněvadž je tečnou ke křivce o rovnici  platí

(10)

Poněvadž přímky a jsou kolmé, je a tedy

(11)

Současně

(12)

Spojením Některé klasické úlohy (10)Některé klasické úlohy (11) a Některé klasické úlohy (12) dostaneme rovnost

Poněvadž bod  byl libovolný, dostáváme pro tvar zrcadla diferenciální rovnici

To je rovnice nerozřešená vzhledem k derivaci. Jedná se však o jednoduchou kvadratickou rovnici pro neznámou derivaci, takže ji můžeme vyjádřit ve tvaru

Pro a je viz obrázek 2. Znaménko před odmocninou tedy musí být . Dostáváme tak diferenciální rovnici pro tvar požadovaného zrcadla

To je rovnice homogenní. Substitucí

dostaneme rovnici se separovanými proměnnými. Její řešení v implicitním tvaru je

tedy Odtud

kde je integrační konstanta. V původních proměnných dostaneme rovnost

neboli To je rovnice paraboly s ohniskem a řídící přímkou

Název „Archimédova úloha“ vychází z tradované historky, podle níž Archimédes při obléhání Syrakus armádou římského vojevůdce Marcella v letech 214-212 př. n. l. z vyleštěných štítů obránců města sestavoval zrcadla, kterými soustředil sluneční paprsky a tak zapaloval lodě obléhatelů impregnované smolou.

 
vytvořil Institut biostatistiky a analýz Masarykovy univerzity | | zpětné odkazy | validní XHTML 1.0 Strict