Konzervativní systémy
Nejprve připomeneme dva pojmy, jeden z analýzy a druhý z lineární algebry: Operátor (nabla, gradient) přiřazuje spojitě diferencovatelné skalární funkci proměnných vektorovou funkci
stejných proměnných.
Matice se nazývá antisymetrická} (polosymetrická, anglicky skew-symmetric), pokud platí rovnost
Definice 5.1. Funkce se nazývá první integrál (invariant) systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1), je-li spojitě diferencovatelná a v každém bodě pro její derivaci vzhledem k systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) platí
Řekneme, že systém Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) je konzervativní, jestliže existuje jeho první integrál.
Věta 5.2. Nechť je první integrál systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) a nechť je řešení systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1). Pak je funkce konstantní.
Důkaz.
První integrál tedy vyjadřuje veličinu, která je na trajektoriích systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) konstantní, tj. veličinu, která se v průběhu vývoje systému zachovává; název „invariant“ je tedy adekvátní. Systém je konzervativní, pokud zachovává (konzervuje) veličinu V aplikacích může jít např. o celkovou energii nebo hmotu a podobně.
Větu lze přeformulovat i takto: trajektorie systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) jsou vrstevnicemi prvního integrálu. Znalost prvního integrálu tedy poskytuje informaci o řešení systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1).
Znalost několika prvních integrálů umožňuje také zmenšit dimenzi systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1). Uvažujme systém Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) s počáteční podmínkou Autonomní systémy a kvalitativní teorie (3). Nechť je přirozené číslo splňující nerovnosti jsou první integrály systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) a nechť vektory jsou lineárně nezávislé. Definujme zobrazení předpisem
Toto zobrazení je spojitě diferencovatelné. Označme
Pak je a z lineární nezávislosti vektorů plyne
|
Jsou splněny předpoklady věty o implicitním zobrazení (viz např. Z. Došlá, O. Došlý: Diferenciální počet funkcí více proměnných. MU, Brno 1999, Věta 8.5). To znamená, že existuje jediné spojité zobrazení takové, že Substitucí
přejde systém Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) na systém
Stručně řečeno, složky vypočítáme ze soustavy rovnic
tak, že je vyjádříme v závislosti na složkách a pak je dosadíme do posledních rovnic systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1). Obecněji: vyjádříme neznámých funkcí pomocí zbývajících a dosadíme je do příslušných z původních diferenciálních krovnic.
Definice 5.3. Nechť existuje antisymetrická matice a spojitě diferencovatelná funkce taková, že pro všechna je Pak se systém Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) nazývá hamiltonovský, funkce se nazývá hamiltonián systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1).
Hamiltonovský systém je tedy tvaru
Věta 5.4. Hamiltonovský systém je konzervativní, hamiltonián je jeho invariantem.
Důkaz. Nejprve si všimněme, že pro libovolný vektor a antisymetrickou matici řádu platí
a tedy Odtud plyne, že
Definice 5.5. Existuje-li přirozené číslo a existují-li zobrazení tak, že pro všechna je
|
|
pak se systém Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) nazývá bipartitní.
Při označení lze bipartitní systém zapsat ve tvaru
Neznámé funkce jsou rozlišeny na dvě sady; derivace funkcí z první sady závisí pouze na funkcích z druhé sady a naopak.
Newtonovy zákony pohybu
Příklad. Uvažujme hmotný bod o hmotnosti který má v čase souřadnice a na nějž působí síla která může záviset na poloze bodu Polohu bodu lze zapsat jako vektor Označme po řadě rychlost, zrychlení a hybnost bodu
Zákon setrvačnosti říká, že pokud je hmotný bod v klidu nebo vykonává rovnoměrný přímočarý pohyb, pak jeho hybnost („množství pohybu“) je konstantní a úměrná rychlosti s koeficientem úměrnosti tj. Ze zákona setrvačnosti tak dostáváme
Síla působí zrychlení hmotného bodu; definujeme ji jako úměrnou tomuto zrychlení opět s koeficientem úměrnosti tj. První dva Newtonovy pohybové zákony tedy můžeme vyjádřit ve tvaru bipartitního systému
(17) Nechť nejprve nepůsobí žádná síla, Pak funkce
je prvním integrálem systému
(18) Vskutku
takže Analogicky se lze přesvědčit, že každá z funkcí
je prvním integrálem systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (18) uvedené první integrály a vyjadřují zákon zachování hybnosti, resp. jejích složek.
Uvažujme nyní centrální sílu působící v počátku, tj. sílu, která bod přitahuje k počátku nebo ho od něj odpuzuje. O velikosti síly budeme předpokládat, že je přímo úměrná hmotnosti bodu a nepřímo úměrná druhé mocnině vzdálenosti bodu od počátku (takovou přitažlivou silou je například síla gravitační). Platí tedy
kde nyní označuje euklidovskou velikost (normu) vektoru. Je-li konstanta úměrnosti kladná, jedná se o přitažlivou sílu, je-li záporná, jedná se o sílu odpudivou. Systém Autonomní systémy a kvalitativní teorie (17) je nyní tvaru
(19) V souřadnicích ho lze rozepsat
Fázový prostor tohoto systému je množina Pro funkci definovanou předpisem
platí
(20) Tedy a funkce je prvním integrálem systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (19). Výraz
vyjadřuje kinetickou energii hmotného bodu výraz
vyjadřuje jeho energii potenciální. První integrál je tedy celkovou mechanickou energií hmotného bodu která se zachovává.
Z vyjádření Autonomní systémy a kvalitativní teorie (20) vidíme, že systém Autonomní systémy a kvalitativní teorie (19) lze také zapsat ve tvaru
nebo stručně
kde resp. je nulová, resp. jednotková, matice. Odtud vidíme, že první integrál je současně hamiltoniánem systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (19). Označíme-li nyní
můžeme systém Autonomní systémy a kvalitativní teorie (19) také zapsat jako hamiltonovský systém