Slovník | Vyhledávání | Mapa webu
 
Analýza a modelování dynamických biologických datSpojité deterministické modely I Některé klasické úlohy Nerelativistický model nestacionárního Vesmíru

Logo Matematická biologie

Nerelativistický model nestacionárního Vesmíru

Seriózní modely Vesmíru jako celku jsou konstruovány v rámci obecné teorie relativity, Ovšem již Newtonovy zákony (a tedy středoškolská fyzika) umožňují jistý vhled do vývoje Vesmíru, zejména mohou ukázat význam jeho aktuální hustoty.

Budeme si tedy představovat, že Vesmír je umístěn v klasicky nekonečném euklidovském trojrozměrném prostoru. Vesmír sám nemůže být nekonečný, nemůže tento hypotetický absolutní prostor vyplnit. To snadno nahlédneme, pokud se za bezoblačné noci a mimo městské osvětlení podíváme na oblohu. Uvidíme tmu a hvězdy. Kdyby byl Vesmír nekonečný, v každém směru by náš pohled nakonec na nějakou hvězdu narazil a noční obloha by celá zářila jako polední slunce. Uvedený argument pro konečnost Vesmíru však není úplně přesvědčivý - mohla by v něm být nějaká mezihvězdná nebo mezigalaktická mračna, která vzdálenější hvězdy zastíní; nebo by světlo mohlo během dlouhé cesty Vesmírem zestárnout a přestat svítit. Jiným argumentem pro konečnost Vesmíru může být existence gravitačního zákona. V nekonečném Vesmíru by se v každém směru nacházelo nekonečné množství hmoty a gravitační působení těchto hmot na jakékoliv těleso by se vzájemně vyrušila. Pokud tedy chceme zůstat v přehledném světě klasické fyziky, tj. ve světě, v němž působí obecné Newtonovy zákony pohybu i zákon gravitační, musí hmotný vesmír (což je z pohledu novověké materialistické přírodovědy celý Vesmír) být konečný, byť se nachází v nekonečném absolutním prostoru.

Z prostorové omezenosti Vesmíru plyne i jeho omezenost v čase; čas si v souladu s newtonowskou fyzikou představujeme jako rovnoměrně plynoucí nezávisle na jakémkoliv procesu, tedy jako jednorozměrný euklidovský prostor. Konečný Vesmír nemůže mít stále stejnou rozlohu -- gravitační síla by totiž každou částici přitahovala do těžiště Vesmíru a ten by se postupně, ale v konečném čase, zhroutil a vytvořil nějaké těleso obrovské hustoty. Vesmír tedy nemůže existovat neonečně dlouhý čas, musel mít někdy nějaký počátek. O trvání Vesmíru do budoucnosti tato úvaha neříká nic; Vesmír mohl na počátku dostat nějaký impuls, který způsobuje jeho neustálé rozpínání a tedy konečné „vyvanutí“, nebo mohl být na počátku veliký a postupně se smršťuje a podobně. Proto také chceme vývoj Vesmíru nějak modelovat. Modelovaný Vesmír bude homogenní (v každém místě stejný) a izotropní (v každém směru stejný); to celkem dobře odpovídá pozorování na dostatečně velké prostorové škále. K tomu budeme ještě předpokládat, že platí zákon zachování hmoty a přírodní zákony, zejména zákon gravitační, jsou na čase nezávislé, jsou věčné.

Model Vesmíru je tedy postaven na předpokladech:

(i) Vesmír je homogenní koule o poloměru
(ii)

Poloměr Vesmíru se v čase mění, a to tak, že v současnosti, je rychlost pohybu vesmírné hmoty úměrná její vzdálenosti od středu Vesmíru. Pro poloměr Vesmíru v současnosti tedy platí

(25)

 

 

kde je Hubbleova konstanta.

(iii) Vesmír má konstantní hmotnost ; samozřejmě je
(iv) V celém Vesmíru platí Newtonův gravitační zákon a gravitační konstanta  nezávisí na čase.

Uvažujme částici (galaxii) o hmotnosti na „hranici Vesmíru“, tj. ve vzdálenosti od jeho středu. Podle předpokladů (i), (iii) a (iv) na ni působí gravitační síla orientovaná do středu Vesmíru, tedy síla daná vztahem

která částici uděluje zrychlení  Podle zákona síly je tedy

(26)

Diferenciální rovnice druhého řádu Některé klasické úlohy (26) spolu s počátečními podmínkami Některé klasické úlohy (25) představuje model vývoje velikosti Vesmíru.

Označme současnou hustotu Vesmíru. Podle předpokladu (iii) platí Dále zavedeme bezrozměrný poloměr Vesmíru a bezrozměrný čas vztahy

(27)

Pak pravá strana rovnice Některé klasické úlohy (26) je rovna

její levá strana je

takže rovnice Některé klasické úlohy (26) se transformuje na rovnici

Rozměr veličiny v jednotkách SI je  což znamená, že tato veličina vyjadřuje hustotu hmotnosti. To nás opravňuje k zavedení kritické hustoty vztahem

(28)

Při tomto označení rovnici Některé klasické úlohy (26) přepíšeme do tvaru

(29)

Dále platí

a právě tehdy, když takže podle druhé rovnosti Některé klasické úlohy (25) je

Dostáváme tak počáteční podmínky pro funkci ve tvaru 

(30)

Transformace Některé klasické úlohy (27)Některé klasické úlohy (28) tedy převádí počáteční úlohu Některé klasické úlohy (26)Některé klasické úlohy (25) na úlohu Některé klasické úlohy (29)Některé klasické úlohy (30).

 
vytvořil Institut biostatistiky a analýz Masarykovy univerzity | | zpětné odkazy | validní XHTML 1.0 Strict