Rybolov s konstantním úsilím

K modelování rybolovu můžeme přistoupit i jinak. Předpokládejme, ženikoliv úlovek za jednotku času, ale úsilí vynaložené na lov je konstantní. To si můžeme představit například tak, že rybáři mají pevnou denní pracovní dobu, po kterou vlečou sítě. Úlovek za jednotku času je v takovém případě úměrný množství ryb, které jsou k dispozici, tj. kde kladná konstanta vyjadřuje vynaložené úsilí.

Místo modelu Základní modely populační dynamiky (12) tedy uvažujeme model

(17)

Rovnici upravíme na tvar

a vidíme, že se opět jedná o Riccatiho rovnici. Substituce Základní modely populační dynamiky (13) ji převede na tvar

z něhož po úpravě dostaneme lineární homogenní rovnici druhého řádu s konstantními koeficienty

(18)

Příslušná charakteristická rovnice má dva reálné kořeny

(19)

Pokud jsou tyto kořeny různé a obecné řešení rovnice Základní modely populační dynamiky (18) je tvaru

Jeho derivace je rovna takže zpětnou transformací Základní modely populační dynamiky (13) dostaneme řešení rovnice z úlohy Základní modely populační dynamiky (17) jako

Pro musí být a řešení můžeme upravit na tvar

hodnotu konstanty určíme z počáteční podmínky úlohy Základní modely populační dynamiky (17),

Řešení úlohy Základní modely populační dynamiky (17) je tedy v případě  dáno formulí

(20)

povšimněme si, že tato funkce vyjadřuje řešení problému Základní modely populační dynamiky (17) i pro Řešení  Základní modely populační dynamiky (20) úlohy Základní modely populační dynamiky (17) je pro libovolnou počáteční hodnotu definováno na celém intervalu a platí pro něho

Pokud oba kořeny Základní modely populační dynamiky (19) charakteristické rovnice splývají do dvojnásobného kořene Obecné řešení lineární rovnice Základní modely populační dynamiky (18) je v tomto případě rovno

takže z transformačního vztahu Základní modely populační dynamiky (13) plyne, že obecné řešení rovnice v úloze Základní modely populační dynamiky (17) je

Hodnota konstanty nyní je takže řešení úlohy Základní modely populační dynamiky (17) je

Tato funkce je také při libovolném  definována na celém intervalu  a platí pro ni

Z rozboru řešení úlohy Základní modely populační dynamiky (17)  vidíme, že rybolov je dlouhodobě udržitelný (tj. řešení úlohy Základní modely populační dynamiky (17) je kladné pro všechna ) v případě Na rozdíl od předchozího modelu Základní modely populační dynamiky (12) však i neudržitelný rybolov vyhubí ryby v dlouhodobém horizontu, nikoliv v konečném čase. Jinak řečeno: je-li ochrana ryb (nebo jiného obnovitelného zdroje) prováděna pevným omezením úlovku, může dojít ke katastrofickému vývoji - rychlé likvidaci ryb. Ochrana pomocí zpětné vazby, tj. omezováním úlovku na základě aktuálního množství ryb, je bezpečnější.

Uvažujme nyní udržitelný rybolov papsaný modelem Základní modely populační dynamiky (17) za situace, kdy velikost populace ryb je na limitní hodnotě

Úlovek za jednotku času je v takovém případě roven Tento úlovek lze chápat jako závislý na vynaloženém úsilí, tj. jako funkci

To je konkávní kvadratická funkce, která nybývá svého maxima pro Maximální úlovek za jednotku času je tedy

To je stejný výsledek jako Základní modely populační dynamiky (16), tj. v případě rybolovu s konstantním úlovkem za jednotku času popsaného modelem Základní modely populační dynamiky (12). Řešení úlohy Základní modely populační dynamiky (17) s úsilím je znázorněno na obrázku Základní modely populační dynamiky 1 vpravo dole.