Slovník | Vyhledávání | Mapa webu
 
Analýza a modelování dynamických biologických datSpojité deterministické modely I Autonomní systémy a kvalitativní teorie Autonomní systémy

Logo Matematická biologie

Autonomní systémy

Budeme uvažovat systém rovnic

(1)

kde je množina s neprázdným vnitřkem a bez izolovaných bodů. Systém Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) se nazývá autonomní systém obyčejných diferenciálních rovnic, definiční obor pravých stran se nazývá fázový (nebo stavový) prostor. V celé kapitole budeme předpokládat, že je spojitá funkce taková, že počáteční problém Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) s podmínkou

(2)

má jediné řešení pro každé

Věta 1.1. Je-li řešením úlohy Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1), Autonomní systémy a kvalitativní teorie (2), pak pro každé je řešením rovnice Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) s počáteční podmínkou Je-li definováno na intervalu je definováno na intervalu

Důkaz.

Tato věta ukazuje, že autonomní systémy popisují děje invariantní vzhledem k posunutí v čase. Bez újmy na obecnosti se tedy u autonomních systémů můžeme omezit na počátečními problémy s počáteční podmínkou

(3)

Úplné řešení  problému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1)Autonomní systémy a kvalitativní teorie (3) definované na intervalu  (přitom platí ) lze interpretovat buďto jako graf zobrazení nebo jako orientovanou křivku ve fázovém prostoru zadanou parametricky. Tuto křivku nazveme trajektorií řešení 

Křivku resp. nazveme pozitivní, resp. negativní, polotrajektorií systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1).

Příklad. Lineární systém

má řešení kde

Poněvadž jsou trajektorie řešení kružnice se středem v počátku.

Věta 1.2. Jsou-li   řešení systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1), pak jejich trajektorie buďto splývají, nebo nemají žádný společný bod.

Důkaz. Nechť pro nějaká Podle Autonomní systémy a kvalitativní teorie 1.1 je řešením rovnice Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) s počáteční podmínkou Trajektorie řešení a zřejmě splývají. Současně ale  je řešením rovnice Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) s počáteční podmínkou a z předpokládané jednoznačné řešitelnosti problému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) s libovolnou počáteční podmínkou plyne

Dále budeme předpokládat, že úplné řešení Cauchyova problému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1), Autonomní systémy a kvalitativní teorie (3) je pro každou počáteční hodnotu definováno na intervalu

Definice 1.3. Bod se nazývá stacionární bod (rovnovážný bod, ekvilibrium, kritický bod, singulární bod, degenerovaná trajektorie) rovnice Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1), jestliže
Trajektorie rovnice Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) se nazývá cyklus, je-li uzavřenou křivkou.
Trajektorie rovnice Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) se nazývá homoklinická, jestliže existuje stacionární bod  takový, že 


Trajektorie rovnice Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) se nazývá heteroklinická, jestliže existují stacionární body takové, že   a

Věta 1.4. Libovolná trajektorie řešení autonomního systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) je právě jednoho z typů:

  • stacionární bod (odpovídá konstantnímu řešením),
  • cyklus (odpovídá nekonstantnímu periodickému řešení),
  • trajektorie, která sama sebe neprotíná.

Důkaz. Plyne z Autonomní systémy a kvalitativní teorie 1.2.

Autonomní rovnice (autonomní systém na přímce)

Rovnice Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) pro tj. rovnice

je speciálním případem rovnice se separovanými proměnnými. Podle Rovnice se separovanými proměnnými lze tedy najít její řešení přinejmenším v implicitním tvaru. Často ovšem rozbor stavového prostoru dá názornější představu o průběhu jejího řešení.

Stavovým prostorem autonomní rovnice Autonomní systémy a kvalitativní teorie (4) je interval nebo sjednocení intervalů. Trajektorie může být

  •  
Přímka, pokud je stavovým prostorem celá množina a funkce  je stále kladná nebo stále záporná.
  •  

Polopřímka bez krajního bodu, pokud existuje číslo    takové, že nebo nastává některá z  (nevylučujících se) možností

  •  

Vnitřek úsečky, pokud existují čísla taková, že pro a

V případě se jedná o heteroklinickou trajektorii.
  •  
Stacionární bod pokud

Je-li trajektorií přímka nebo vnitřek polopřímky nebo úsečky, pak je trajektorie orientovaná souhlasně s orientací osy pokud ve všech bodech této přímky nebo vnitřku polopřímky nebo úsečky. Takovým trajektoriím odpovídají rostoucí řešení rovnice Autonomní systémy a kvalitativní teorie (4). Pokud je zde pak je trajektorie orientována proti orientaci osy

Nechť je stacionárním bodem rovnice Autonomní systémy a kvalitativní teorie (4) takovým, že existuje jeho pravé ryzí okolí tak, že pro Trajektorie odpovídající řešení rovnice Autonomní systémy a kvalitativní teorie (4) s počáteční podmínkou směřují ke stacionárnímu, resp. od stacionárního, bodu  pokud resp.  na intervalu Analogicky můžeme vyšetřit směr trajektorií nalevo od stacionárního bodu.Nechť nyní  je vnitřní stacionární bod rovnice Autonomní systémy a kvalitativní teorie (4), tj.  a  Pokud je pak je tento stacionární bod izolovaný, tj. existuje jeho ryzí okolí, v němž  Je-li přitom resp. pak všechny trajektorie začínající v okolí bodu  směřují od stacionárního, resp. ke stacionárnímu, bodu 

Definice 1.5. Nechť je stacionární bod autonomního systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1). Položme

 

Řekneme, že stacionární bod  je hyperbolický, pokud každé vlastní číslo matice má nenulovou reálnou část. Mají-li všechna vlastní čísla matice kladnou reálnou část, řekneme, že hyperbolický stacionární  bod je zdroj (source); mají-li všechna vlastní čísla matice zápornou reálnou  část, řekneme, že hyperbolický stacionární bod  je stok (sink).

Homogenní lineární systém s konstantní maticí

se nazývá linearizace systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) ve stacionárním bodě  

Matice  je vlastně Jacobiho maticí zobrazení v bodě  proto se někdy používá označení Tato matice se někdy také nazývá variační matice systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) a linearizace tohoto systému se nazývá variační rovnice systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1).

Definice 1.6. Neprázdná podmnožina fázového prostoru systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) se nazývá

  • pozitivně invariantní (invariantní vpřed, forward invariant), jestliže pro každé řešení systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) s počáteční hodnotou platí, že pro všechna
  • negativně invariantní (invariantní vzad, backward invariant),  jestliže pro každé řešení  systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) s počáteční hodnotou  platí, že  pro všechna 
  • invariantní, je-li současně pozitivně i negativně invariantní.

Poznámka 1.7. Jsou-li množiny pozitivně (resp. negativně) invariantní, pak také množiny a jsou pozitivně (resp. negativně) invariantní.

Poznámka 1.8. Libovolná trajektorie systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) je invariantní množinou tohoto systému.

Definice 1.9. Nechť a je nějaká metrika na ekvivalentní s euklidovskou. Řekneme, že

  • množina atrahuje (přitahuje) množinu  (množina je atraktorem množiny ), jestliže pro každé řešení systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) s počáteční hodnotou platí, že
  • množina je (globální) atraktor, jestliže přitahuje 
  • množina absorbuje množinu  jestliže je  pozitivně invariantní a ke každému řešení systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) s počáteční hodnotou existuje takové, že
  • množina je globálně absorbující, jestliže absorbuje množinu 

Poznámka 1.10. Nechť  je řešením systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) s počáteční podmínkou Pokud množina je  -limitní množinou řešení  pak je pozitivně invariantním atraktorem množiny

Poznámka 1.11. Trajektorii systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) nazveme limitní trajektorií, jestliže existuje množina taková, že a atrahuje množinu Je-li navíc cyklem, nazveme ho limitním cyklem.

Poznámk 1.12. Buď Jestliže existují kladné konstanty  takové, že pro každý bod splňující podmínku platí 

pak množina je globálně absorbující množinou systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1).

Důkaz. Nejprve ukážeme, že každá trajektorie protíná množinu  Připusťme, že existuje řešení systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) takové, že pro všechna je Položme Pak pro všechna  je

neboli

Integrací této nerovnosti v mezích od po dostaneme tj.

pro libovolné  Odtud plyne, že což je ve sporu s předpokladem

Množina má neprázdný průnik s libovolnou trajektorií, je tedy neprázdná. Ukážeme, že je navíc pozitivně invariantní. Připusťme, že existuje řešení

systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) s počáteční hodnotou takové, že pro jisté je tj. Položme

Pak takže je neprázdná shora ohraničená množina reálných čísel. Existuje tedy Ze spojitosti funkce a z vlastností suprema plyne, že a funkce je v bodě rostoucí. Avšak

což je spor s faktem, že funkce  je v  rostoucí.

Definice 1.13. Systém Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) se nazývá dissipativní, jestliže existuje ohraničená globálně absorbující množina.

Poznámka 1.14. Je-li systém Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) dissipativní, pak každé jeho řešení je ohraničené.

Poznámka 1.15. Jestliže existují kladné konstanty  takové, že pro všechna a všechna taková, že platí

pak  je systém Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) dissipativní a globálně absorbující je množina 

Důkaz. Nejprve ukážeme, že každá trajektorie protíná množinu  Připusťme, že existuje řešení  systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) takové, že  pro všechna Pak pro všechna a tedy pro libovolné platí 

Integrací této nerovnosti dostaneme takže pro

je což je spor. Každá trajektorie má tedy s množinou neprázdný průnik, což také znamená, že množina je neprázdná.

Ukážeme, že množina je navíc pozitivně invariantní. Nechť  je řešením systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) s počáteční podmínkou Připusťme, že existuje pro něž Pak Položme

Pak takže je neprázdná shora ohraničená množina reálných čísel. Existuje tedy Ze spojitosti funkce a z vlastností suprema plyne, že a funkce je v bodě rostoucí. Avšak

což je spor s tím, že funkce  je v bodě rostoucí. Pro všechna je tedy a množina je invariantní.

Poznámka 1.16. Nechť ke každému existují kladné konstanty takové, že pro všechna z nerovnosti plyne nerovnost

Pak je systém Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) dissipativní s globálně absorbující množinou

Důkaz. Položme Pak každá z množin je podle Autonomní systémy a kvalitativní teorie 1.12. globálně absorbující množinou a Podle Autonomní systémy a kvalitativní teorie 1.7 je množina pozitivně invariantní. Ukážeme, že je také globálně absorbující.

Buď libovolné řešení systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1). Podle Autonomní systémy a kvalitativní teorie 1.12 existuje takové, že pro všechna Dále existuje takové, že pro všechna je   atd. Nakonec existuje takové, že  pro všechna Takže pro všechna je tj.

 

Úlohy k procvičení

 
vytvořil Institut biostatistiky a analýz Masarykovy univerzity | | zpětné odkazy | validní XHTML 1.0 Strict