Slovník | Vyhledávání | Mapa webu
 
Analýza a modelování dynamických biologických datSpojité deterministické modely I Obyčejné diferenciální rovnice Systémy diferenciálních rovnic a rovnice vyššího řádu

Logo Matematická biologie

Systémy diferenciálních rovnic a rovnice vyššího řádu

Vektorové a maticové funkce

Doposud jsme měli jednu tzv. stavovou proměnnou , tj. proměnnou, jejíž stav se v čase mění. Reálné procesy ale většinou ovlivňuje více stavových proměnných. Můžeme si představit např. chemickou reakci dvou látek. Koncentrace těchto látek ovlivňují chemickou reakci a v průběhu reakce se mění. Jiným příkladem může být např. ekosystém živočišných nebo rostlinných druhů, jejichž populace se navzájem ovlivňují. Pro modelování složitějších reálných procesů tedy budeme potřebovat více stavových proměnných, použijeme proto nástroje lineární algebry a jejich rozšíření, např. vektorové a maticové funkce. 
 
Reálný -rozměrný vektor  je prvkem prostoru . Složky (standardní souřadnice) vektoru  budeme značit  nebo .
 
Matice  o  řádcích a  sloupcích je prvkem prostoru . Její prvek na -tém řádku a v -tém sloupci
budeme značit  nebo . Vektor z prostoru  budeme chápat jako matici o  řádcích a jednom sloupci.
 
Je-li tedy  a můžeme psát
 
 
 
 
 

Normy vektorů a matic

Normu vektoru
 
,
podrobněji  vektorovou 1-normu nebo součtovou normu definujeme předpisem
 
 
Normu matice
 ,
podrobněji maticovou 1-normu nebo součtovou normu  definujeme předpisem
 
 
 
Na množině vektorů zavádíme metriku , na množině matic zavádíme metriku
. Jedná se o součtovou metriku.
 
  • Platí: . Této vlastnosti se říká, že maticová norma je souhlasná s vektorovou normou. 
      Důkaz: Pro libovolné  je . Odtud plyne
 
 
 
 

Spojitost, derivace a integrál vektorových a maticových funkcí

 
Vektorová funkce, podrobněji -vektorová funkce,  je zobrazení , maticová funkce, podrobněji čtvercová 
-rozměrná maticová funkce,  je zobrazení ,
 
 
Na množině  uvažujeme běžnou metriku , na množině resp. , uvažujeme příslušnou součtovou metriku. Spojitost vektorové (resp. maticové) funkce chápeme jako spojitost příslušného zobrazení metrických prostorů. Podrobněji: vektorová funkce  (resp. maticová funkce ) je spojitá v bodě  svého definičního oboru, jestliže ke každému kladnému číslu  existuje kladné číslo  tak, že pro všechna  z definičního oboru funkce  z nerovnosti  plyne nerovnost (resp. )Vektorová (resp. maticová) funkce je spojitá právě tehdy, když všechny
její složky jsou spojité.
 
Limitu v bodě , derivaci v obecném bodě  a integrál v mezích od  do  vektorové, resp. maticové, funkce definujeme vztahy (v uvedeném pořadí)
 
 
 

Definice systémů ODR a ODR vyšších řádů

 
Nyní tedy máme k dispozici aparát a v následujícím textu s jeho pomocí rozšíříme pojmy uvedené v části Obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu pro více stavových proměnných.
 
Definice 3.1. Buď  množina s neprázdným vnitřkem, . Rovnice
                                                                    
se nazývá systém  obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu nebo  -vektorová obyčejná diferenciální
rovnice prvního řádu.
 
Vektorovou rovnici můžeme rozepsat do složek
 
 
 
Počáteční podmínku k rovnici Obyčejné diferenciální rovnice (4) zadáváme ve tvaru
    
Pojmy řešení, obecné řešení, partikulární řešení, úplné řešení rovnice Obyčejné diferenciální rovnice (4) jsou analogiemi těchto pojmů z jednorozměrného případu. Obecné řešení závisí na  parametrech.
 
Příklad: Vraťme se nyní znovu k našim bylinkám. Napadly je mšice a my jsme je postříkali chemickým postřikem. Chemikálie se poté, co zahubí mšice, deštěm a zaléváním vsákne do půdy a bude vstřebávána bylinkami. Označme biomasu bylin , množství chemikálie v rostlině  a množství chemikálie v půdě .  Chemikálie přechází z půdy do biomasy, mění se tak koncentrace chemikálie v půdě i v bylinkách. Bylinky pravidelně ořezáváme. Modelem může být pak následující systém diferenciálních rovnic:
 
 
Pokusme se vysvětlit, co znamenají jednotlivé členy na pravé staně systému. První dva členy již známe - bylinky rostou a my je ořezáváme. Členy s  a   odpovídají koncentraci chemikálie vynásobené množstvím biomasy. Bylinky  rostou tím pomaleji, čím větší je tato koncentrace  resp. . Pokud je příliš velká, budou i hynout. Chemikálie přechází z půdy do rostliny. Můžeme říct, že čím více je chemikálie a čím více je biomasy, tím více ji rostlina z půdy získává. Je to velmi zjednodušený model, který vede na uvedený systém rovnic.
 
Úkol: Pokuste se systém upravit tak, aby chemikálie přecházela z půdy do rostliny také v závislosti na rychlosti růstu rostliny.
 
Definice 3.2. Buď  množina s neprázdným vnitřkem, . Rovnice
                                
se nazývá obyčejná diferenciální rovnice -tého řádu rozřešená vzhledem k nejvyšší derivaci
Řešením této rovnice se rozumí -krát diferencovatelná funkce , kde  je interval, která splňuje podmínky
 
 
pro každé 
Počáteční (Cauchyovu) podmínku  pro rovnici Obyčejné diferenciální rovnice (5) zadáváme ve tvaru
(7)
   
kde
Úplné řešení, obecné řešení, partikulární řešení rovnice Obyčejné diferenciální rovnice (5) definujeme analogicky jako u rovnic prvního řádu.
Obecné řešení závisí na  parametrech.
 
Poznámka 3.3. Řešení počáteční úlohy Obyčejné diferenciální rovnice (5), Obyčejné diferenciální rovnice (6) je ekvivalentní s řešením počátečního problému pro systém  diferenciálních rovnic prvního řádu:

 

,
(9)
 
v tomto smyslu: Je-li  řešením úlohy Obyčejné diferenciální rovnice (5), Obyčejné diferenciální rovnice (6), pak -tice funkcí
 
 
 
 
 
PříkladRovnice 
 
 
se nazývá rovnice harmonického oscilátoru. Popisuje pohyb (výchylku z rovnováhy ) tělesa jednotkové hmotnosti na pružině s koeficientem tuhosti . Zrychlení musí odpovídat síle pružiny, která je tím větší, čím větší výchylku těleso má od rovnovážné polohy. Zanedbáváme samozřejmě tření i gravitační sílu. Rovnici můžeme přepsat na systém diferenciálních rovnic prvního řádu novým označením proměnných:  je výchylka tělesa,  je rychlost tělesa (opačné znaménko znamená opačný směr). Platí tedy:
                                          
Ukažte, že funkce , pro  jsou řešením rovnice harmonického oscilátoru. Jak vypadá řešení příslušného systému diferenciálních rovnic?
 

Úlohy k procvičení

 
vytvořil Institut biostatistiky a analýz Masarykovy univerzity | | zpětné odkazy | validní XHTML 1.0 Strict