Slovník | Vyhledávání | Mapa webu
 
Analýza a modelování dynamických biologických datSpojité deterministické modely I Základní modely populační dynamiky Další modely růstu populace Smithova rovnice

Logo Matematická biologie

Smithova rovnice

(6)

Smithův model můžeme považovat za modifikaci Verhulstova modelu výměnou poměrné části populace zbývající do zaplnění nosné kapacity za nevyužitou poměrnou část zdrojů potravy.

Označíme-li rychlost, s jakou populace velikosti spotřebovává potravu, a rychlost, s jakou spotřebovává potravu populace, která dosáhla své maximální velikosti. Specifickou míru růstu můžeme uvažovat ve tvaru

(7)

kde protože rostoucí populace spotřebovává potravu rychleji než ustálená populace. Závislost na a  pak uvažujeme nejjednodušší možnou, tj. lineární

Pro populaci, která dosáhla své maximální velikosti, platí a Odtud plyne a po dosazení za a do rovnice Základní modely populační dynamiky (7) dostaneme Smithovu rovnici ve tvaru

(8)

kde

Abychom získali analytické řešení, vyměníme  závislou a nezávislou proměnnou:

S počáteční podmínkou  pak nutně

Řešení tedy splňuje

(9)

Graf řešení Smithovy rovnice má podobně jako logistická křivka esovitý tvar. Analýzu průběhu funkce však ponecháváme na čtenáři.

 
vytvořil Institut biostatistiky a analýz Masarykovy univerzity | | zpětné odkazy | validní XHTML 1.0 Strict