Společenstvo se dvěma trofickými úrovněmi
Uvažujme společenstvo tvořené dvěma skupinami druhů - producenty (kořistí) a konzumenty (predátory). Mezi druhy uvnitř jednotlivých trofických úrovní nejsou žádné interakce a konzumenti nemohou bez producentů přežít. Je-li takové společenstvo tvořeno druhy producentů a
druhy konzumentů, lze jeho vývoj popsat systémem Lotkových-Volterrových rovnic tvaru
|
|
(22) |
označuje velikost
-tého druhu producentů,
velikost
-tého druhu konzumentů, parametry
jsou kladné. Systém Lotkovy-Volterrovy systémy (22) můžeme při zavedení vektorů
a matic
zapsat vektorově
nebo ve tvaru
kde označuje nulovou matici.
Transformace systému Lotkovy-Volterrovy systémy (22) na systém bipartitní
Stavové proměnné
transformujeme na nové, které označíme
a definujeme rovnostmi
|
|
(23) |
Pak
Zavedeme označení
Systém Lotkovy-Volterrovy systémy (22) se transformuje na tvar
|
|
(24) |
derivace první sady proměnných závisí pouze na druhé sadě, derivace druhé sady proměnných závisí pouze na první sadě. Systém Lotkovy-Volterrovy systémy (22) lze tedy substitucí Lotkovy-Volterrovy systémy (23) transformovat na systém bipartitní.
Invariant systému Lotkovy-Volterrovy systémy (22)
Hodnota vyjadřuje množství
-tého druhu kořisti, kterou za jednotku času zničí predátoři
-tého druhu za předpokladu, že populace
-tého druhu kořisti i
-tého druhu predátora měly jednotkovou velikost. Stručněji,
je specifická úmrtnost
-tého druhu kořisti způsobená populací
-tého druhu predátora o jednotkové velikosti. Hodnota
je specifická porodnost
-tého druhu predátora po konzumaci jednotkového množství populace
-tého druhu kořisti. Poměr
lze tedy chápat jako efektivitu, s jakou se úbytek
-tého druhu kořisti přeměňuje do růstu populace
-tého druhu predátora. Předpokládejme nyní, že každý druh predátora využívá všechny druhy kořisti stejně efektivně, tj. že ke každému
existuje konstanta
taková, že
Jinak řečeno, nechť existuje vektor pro nějž platí
|
|
(25) |
Předpokládejme dále, že existuje vnitřní stacionární bod systému Lotkovy-Volterrovy systémy (22), tj. že existují vektory
se všemi složkami kladnými, takové že
tj.
|
|
(26) |
Poznamenejme, že v případě nemusí být některý z vektorů
určen jednoznačně. Pak vnitřní stacionární bod není izolovaný.
Definujme nyní funkci předpisem
Pokud jsou řešením systému Lotkovy-Volterrovy systémy (22), která mají všechny složky v každém čase kladné, pak platí
|
|
|
|
|
|
|
|
|
neboť Jinak řečeno, funkce
je na trajektoriích systému Lotkovy-Volterrovy systémy (22) konstantní, je invariantem (prvním integrálem) tohoto systému.
Transformace systému Lotkovy-Volterrovy systémy (22) na hamiltonovský
Opět použijeme transformaci Lotkovy-Volterrovy systémy (23) a s využitím vztahů Lotkovy-Volterrovy systémy (26) vyjádříme transformovaný systém Lotkovy-Volterrovy systémy (24) jako
Podmínka Lotkovy-Volterrovy systémy (25) nyní umožňuje přepsat tento systém ve tvaru
|
|
(27) |
Invariant systému Lotkovy-Volterrovy systémy (22) vyjádříme také v proměnných
a
Platí
Při označení
tedy je
takže systém Lotkovy-Volterrovy systémy (27) je tvaru
neboli
symbol označuje nulovou matici. Pokud tedy platí Lotkovy-Volterrovy systémy (25) a existuje vnitřní stacionární bod systému Lotkovy-Volterrovy systémy (22), lze tento systém transformovat na systém hamiltonovský.
Námět k úvaze. Srovnejte uvedený postup s postupem odvození hamiltoniánu u klasického Lotkova-Volterrova modelu dravec-kořist.
Modely společenstev tvořených producenty a jejich konzumenty, které mají vnitřní stacionární bod a splňují podmínku Lotkovy-Volterrovy systémy (25), mají v populační ekologii podobný význam jako Newtonovy zákony v mechanice (srov. Newtonovy zákony pohybu).
