Přímá Ljapunovova metoda
V této části budeme symbolem označovat řešení počáteční úlohy Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1), Autonomní systémy a kvalitativní teorie (2).
Definice 4.1. Buď a okolí bodu ve fázovém prostoru Spojitá funkce se nazývá ljapunovská funkce systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) v bodě jestliže
- a pro každé
- Pro každé je složená funkce (chápaná jako funkce jedné reálné proměnné ) nerostoucí pro všechna
Věta 4.2. (Přímá Ljapunovova metoda). Existuje-li ljapunovská funkce systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) v bodě pak je stacionárním bodem systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) a konstantní řešení tohoto systému je stejnoměrně stabilní.
Pokud navíc podmínku (2) z definice Autonomní systémy a kvalitativní teorie 4.1 lze nahradit silnější podmínkou
2.* Pro každé je složená funkce (chápaná jako funkce jedné reálné proměnné ) klesající pro všechna
pak je konstantní řešení systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) stejnoměrně asymptoticky stabilní.
Důkaz. Pokud by existovalo takové, že pak by a funkce by nebyla nerostoucí. Bod je tedy stacionárním bodem systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1).
Bez újmy na obecnosti lze předpokládat, že V opačném případě bychom totiž mohli systém Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) substitucí transformovat na systém pro který je stacionárním bodem.
Buď libovolné číslo takové, že a označme
Pak a pro každé takové, že Ze spojitosti funkce plyne, že existuje takové, že pro všechna taková, že Zřejmě je
Buď dále takové, že Pak a poněvadž funkce je nerostoucí, platí
|
(14) |
Kdyby nyní existovalo takové, že pak by ze spojitosti funkce a z Bolzanovy věty plynula existence takového, že a platilo by což by byl spor s Autonomní systémy a kvalitativní teorie (14).
Pro všechna z definičního oboru funkce tedy platí Odtud navíc podle Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic 3.6 plyne, že je definována pro všechna Tvrzení o stejnoměrné stabilitě je tedy dokázáno.
V případě, že platí: pro každé takže
Nechť a funkce je klesající. Poněvadž funkce je monotonní, existuje
|
(15) |
a z nezápornosti funkce plyne Připusťme Z toho, že
plyne existence a takových, že pro všechna Pro všechna je tedy
Položme Funkce je podle Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic 3.9 spojitá na kompaktní množině a je zde záporná. Podle Weierstrassových vět existuje
je a pro platí
|
|
|
Poněvadž je také což je spor s Autonomní systémy a kvalitativní teorie (15). Tento spor dokazuje, že Ze spojitosti funkce z faktu pro a z podmínky (1) v definici Autonomní systémy a kvalitativní teorie 4.1 a ze vztahu Autonomní systémy a kvalitativní teorie (15) nyní plyne Tím je dokázáno i tvrzení o stejnoměrné asymptotické stabilitě.
Důsledek 4.3. Buď diferencovatelná funkce, která splňuje podmínku (1) z definice Autonomní systémy a kvalitativní teorie 4.1. Jestliže pro každé platí
|
(16) |
pak funkce je ljapunovskou funkcí systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) v bodě a tedy konstantní řešení tohoto systému je stejnoměrně stabilní.
Jestliže pro každé platí pak funkce splňuje podmínku (2*) z věty Autonomní systémy a kvalitativní teorie 4.2 a tedy konstantní řešení tohoto systému je stejnoměrně asymptoticky stabilní.
Důkaz. Pro každé a každé je a podle věty o derivaci složené funkce platí
|
Odtud a ze známých vět o vyšetřování průběhu funkce jedné proměnné pomocí derivace plynou obě tvrzení.
Je-li diferencovatelná funkce definovaná na pak výraz definovaný vztahem
se nazývá derivace funkce vzhledem k systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1).
Příklad. Ukážeme, že pro všechny funkce a splňující a je počátek stejnoměrně asymptoticky stabilní rovnovážný bod systému
Je zřejmé, že jde o rovnovážný bod díky podmínkám a Uvažujme funkci Tato funkce je nulová v počátku a jinde kladná, splňuje tedy podmínku (1) z definice Autonomní systémy a kvalitativní teorie 4.1. Pro derivaci funkce vzhledem k uvedenému systému platí
přitom ale a tedy
přičemž nule je rovna pouze v počátku, jinde je záporná, což podle důsledku Autonomní systémy a kvalitativní teorie 4.3 dokazuje stejnoměrnou asymptotickou stabilitu počátku.