Slovník | Vyhledávání | Mapa webu
 
Analýza a modelování dynamických biologických datSpojité deterministické modely I Některé klasické úlohy Ciolkovského rovnice

Logo Matematická biologie

Ciolkovského rovnice

Pohyb rakety budeme popisovat v souřadné soustavě takové, aby na raketu nepůsobily žádné vnější síly (tedy v beztížném stavu). Nechť v čase se raketa pohybuje rychlostí V čase se zažehne palivo, které rovnoměrně shoří za čas a v podobě plynů proudí z trysky na zádi rakety rychlostí vzhledem k raketě. Úlohou je určit rychlost rakety po provedení popsaného manévru, tedy její rychlost v čase

Označme

Předpoklad o rovnoměrném hoření paliva zapíšeme rovností

(3)

Rychlost neznáme. Budeme však o ní předpokládat, že je spojitě diferencovatelnou funkcí svého argumentu (času). Hybnost rakety se zbývajícím palivem v čase je

(4)

Uvažujme krátký časový interval Během něho shoří palivo o hmotnosti

(5)

Rychlost vytékajících plynů v souřadné soustavě, v níž pohyb popisujeme, je v čase rovna a v průběhu intervalu se mění v rozmezí od této hodnoty po hodnotu Hybnost vyhořelého paliva vytrysklého v uvažovaném časovém intervalu proto vyjádříme jako

(6)

kde je integrální průměr vytékajících plynů v časovém intervalu délky tj.

Podle první věty o střední hodnotě integrálního počtu existuje číslo takové, že

takže S využitím této rovnosti a rovnosti Některé klasické úlohy (5) vyjádříme hybnost Některé klasické úlohy (6) vytékajícího plynu výrazem

(7)

Hybnost rakety v čase je vzhledem k Některé klasické úlohy (3) rovna

Podle Lagrangeovy věty o střední hodnotě platí

kde Dosazením této rovnosti do předchozí dostaneme

(8)

Souhrnná hybnost rakety a vyhořelého paliva je v čase  rovna

Odtud a z Některé klasické úlohy (7)Některé klasické úlohy (8) dostaneme

Limitním přechodem a jednoduchou úpravou vyjádříme derivaci hybnosti soustavy rakety s palivem ve tvaru

Podle zákona o zachování hybnosti je takže s využitím rovnosti Některé klasické úlohy (3) dostaneme diferenciální rovnici pro neznámou funkci ve tvaru

Na její pravé straně se nevyskytuje hledaná funkce stačí tedy integrovat obě strany rovnice v mezích od po S využitím počáteční podmínky dostaneme

Zejména pro máme

(9)

Tato formule se nazývá Ciolkovského rovnice.

Rovnici Některé klasické úlohy (9) odvodil William Moore ve výzkumné zprávě A Treatise on the Motion of Rockets pro Royal Military Academy, Woolwich, England, v roce 1813. Tato práce byla zapomenuta a nezávisle na ní rovnici objevil roku 1898 Konstantin Eduardovič Ciolkovskij. S její pomocí v článku

Циолковский, К.  Е. Изследование мировых пространств реактивными приборами. Научное обозръниe. 1903, годъ X, No.5

zdůvodnil, že rakety mohou létat naprosto nezávisle na okolním prostředí, a proto mohou být vhodným prostředkem pro lety do vesmíru.

 
vytvořil Institut biostatistiky a analýz Masarykovy univerzity | | zpětné odkazy | validní XHTML 1.0 Strict