Řešení počátečního problému metodou postupných aproximací

Řešení rovnice Lineární rovnice (7) s počáteční podmínkou Lineárné rovnice (2) budeme hledat jako limitu Picardovy posloupnosti postupnýchaproximací. Členy této posloupnosti jsou podle Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic 2.1 rekurentně dány formulemi

Obecný člen posloupnosti je

kde označuje jednotkovou matici. Toto tvrzení ověříme úplnou indukcí. Pro máme

a z platnosti formule pro plyne

Pokud bychom považovali za konstantu a za jedničku (tj. pro ), je výraz v závorce -tým částečným součtem Taylorovy řady funkce . Řešení úlohy

lze proto zapsat ve tvaru   Matice je dána nekonečnou řadou

  

Lze ukázat, že tato řada konverguje pro každé a tato konvergence je stejnoměrná.