Slovník | Vyhledávání | Mapa webu
 
Analýza a modelování dynamických biologických datSpojité deterministické modely I Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic Odhady řešení

Logo Matematická biologie

Odhady řešení

Definice 4.1. Řešení úlohy Obyčejné diferenciální rovnice (1)Obyčejné diferenciální rovnice (2) se nazývá maximální řešení, jestliže pro každé řešení této úlohy platí pro všechna v nichž jsou obě řešení definována. 
Řešení úlohy Obyčejné diferenciální rovnice (1), Obyčejné diferenciální rovnice (2) se nazývá minimální řešení, jestliže pro každé řešení  této úlohy platí pro všechna v nichž jsou obě řešení definována.

Příklad. Uvažujme počáteční úlohu

(8)

Přímým výpočtem ověříme, že kterákoliv z funkcí

kde jsou nezáporné konstanty, je jejím úplným řešením. Minimální a maximální řešení úlohy Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic (8) tedy jsou funkce

řešení je znázorněno na obrázku 3.3 a).

Věta 4.2. (srovnávací). Nechť      Nechť dále   je spojitá funkce a je spojitá funkce taková, že pro Buď a maximální řešení úlohy

na intervalu

Pak každé úplné řešení úlohy Obyčejné diferenciální rovnice (4), Obyčejné diferenciální rovnice (5) je definováno pro všechna a platí

Důkaz. Viz J. Kalas, M. Ráb: Obyčejné diferenciální rovnice. MU, Brno 2001, str. 91.

 

a)
b)
Obr. 3.3. a) Maximální a minimální řešení počáteční úlohy Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic (8). b) Odhady řešení úlohy  Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic (9) s hodnotami

Příklad. Najdeme odhad řešení počátečního problému

(9)

na intervalu

Pravou stranu rovnice můžeme chápat jako funkci jedné proměnné s jedním parametrem Standardními metodami diferenciálního počtu najdeme globální maximum a minimum této funkce; konkrétně, pro každé  platí

Odtud plyne že

Počáteční úloha

má podle ref{rovprimfce} jediné řešení

a podle srovnávací věty Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic 4.2 platí pro všechna

Řešení úlohy Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic (9) pro lze odhadnout i jiným způsobem. V takovém případě totiž platí

Jediné řešení počáteční úlohy

pro nehomogenní lineární rovnici je podle ref{elreslinrov} rovno

a podle srovnávací věty Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic 4.2 platí pro všechna

Poznamenejme ještě, že nelze říci, že by některý z uvedených odhadů řešení úlohy Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic (9) byl lepší než druhý. Situace je znázorněna na obrázku 3.3 b).

Důsledek 4.3. Nechť symboly mají stejný význam jako v Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic 4.2. Nechť funkce je spojitá a nechť existuje spojitá funkce taková, že

Pak pro každé takové, že 

jsou úplná řešení úlohy Obyčejné diferenciální rovnice (4)Obyčejné diferenciální rovnice (5) definována na celém intervalu a platí

Důkaz. Plyne z Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic 4.2 volbou

Jediné úplné (tedy maximální) řešení úlohy  je podle části Lineární rovnice

 

Úlohy k procvičení

 
vytvořil Institut biostatistiky a analýz Masarykovy univerzity | | zpětné odkazy | validní XHTML 1.0 Strict