Odhady řešení
Definice 4.1. Řešení úlohy Obyčejné diferenciální rovnice (1), Obyčejné diferenciální rovnice (2) se nazývá maximální řešení, jestliže pro každé řešení této úlohy platí pro všechna v nichž jsou obě řešení definována.
Řešení úlohy Obyčejné diferenciální rovnice (1), Obyčejné diferenciální rovnice (2) se nazývá minimální řešení, jestliže pro každé řešení této úlohy platí pro všechna v nichž jsou obě řešení definována.
Příklad. Uvažujme počáteční úlohu
(8) |
Přímým výpočtem ověříme, že kterákoliv z funkcí
kde jsou nezáporné konstanty, je jejím úplným řešením. Minimální a maximální řešení úlohy Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic (8) tedy jsou funkce
řešení je znázorněno na obrázku 3.3 a).
Věta 4.2. (srovnávací). Nechť Nechť dále je spojitá funkce a je spojitá funkce taková, že pro Buď a maximální řešení úlohy
na intervalu
Pak každé úplné řešení úlohy Obyčejné diferenciální rovnice (4), Obyčejné diferenciální rovnice (5) je definováno pro všechna a platí
Důkaz. Viz J. Kalas, M. Ráb: Obyčejné diferenciální rovnice. MU, Brno 2001, str. 91.
a)
|
b)
|
Obr. 3.3. a) Maximální a minimální řešení počáteční úlohy Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic (8). b) Odhady řešení úlohy Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic (9) s hodnotami |
Příklad. Najdeme odhad řešení počátečního problému
(9) |
na intervalu
Pravou stranu rovnice můžeme chápat jako funkci jedné proměnné s jedním parametrem Standardními metodami diferenciálního počtu najdeme globální maximum a minimum této funkce; konkrétně, pro každé platí
Odtud plyne že
Počáteční úloha
má podle ref{rovprimfce} jediné řešení
a podle srovnávací věty Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic 4.2 platí pro všechna
Řešení úlohy Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic (9) pro lze odhadnout i jiným způsobem. V takovém případě totiž platí
Jediné řešení počáteční úlohy
pro nehomogenní lineární rovnici je podle ref{elreslinrov} rovno
a podle srovnávací věty Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic 4.2 platí pro všechna
Poznamenejme ještě, že nelze říci, že by některý z uvedených odhadů řešení úlohy Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic (9) byl lepší než druhý. Situace je znázorněna na obrázku 3.3 b).
Důsledek 4.3. Nechť symboly mají stejný význam jako v Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic 4.2. Nechť funkce je spojitá a nechť existuje spojitá funkce taková, že
Pak pro každé takové, že
jsou úplná řešení úlohy Obyčejné diferenciální rovnice (4), Obyčejné diferenciální rovnice (5) definována na celém intervalu a platí
Důkaz. Plyne z Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic 4.2 volbou
Jediné úplné (tedy maximální) řešení úlohy je podle části Lineární rovnice