Autonomní systémy v rovině 2
Věta 2.3. Uvažujme autonomní systém
(8) |
kde jsou funkce dvou proměnných spojité v okolí počátku. Nechť a nechť existuje takové, že
Je-li bod uzlem nebo ohniskem pro systém Autonomní systémy a kvalitativní teorie (6), pak je stejného typu i pro systém Autonomní systémy a kvalitativní teorie (8).
Je-li bod středem pro systém Autonomní systémy a kvalitativní teorie (6), pak je bodem rotace nebo ohniskem pro systém Autonomní systémy a kvalitativní teorie (8).
Je-li bod sedlem pro systém Autonomní systémy a kvalitativní teorie (6) a funkce mají spojité parciální derivace podle obou proměnných v okolí počátku, pak je sedlem i pro systém Autonomní systémy a kvalitativní teorie (8).
Důkaz. P. Hartman: Ordinary Differential Equations. John Willey&Sons, New York-London-Sydney 1964, kap. VIII.
(9) |
Je-li počátek středem pro systém Autonomní systémy a kvalitativní teorie (9), je bod buďto ohniskem nebo bodem rotace pro systém Autonomní systémy a kvalitativní teorie (5).
kde jsme symbolem označili Taylorův zbytek v uvedeném tvaru.
Analogicky ukážeme, že existuje konstanta a funkce takové, že na okolí stacionárního bodu platí
a tvrzení plyne z věty Autonomní systémy a kvalitativní teorie 2.3.
Předpokládejme, že křivka je orientována kladně a má tvar oválu, tj. existují na ní právě dva body, v nichž je tečna rovnoběžná s osou a právě dva body, v nichž je tečna rovnoběžná s osou . Označme množinu ohraničenou křivkou průmět množiny na osu hodnotu parametru pro niž nejmenší kladné číslo pro něž Dále zavedeme funkce resp. takové, že jejich graf na intervalu splývá s dolním, resp. horním, obloukem křivky Pak |
OBRAAAZOOL dulac.eps |
Z předpokladů věty a obecných vlastností integrálu plyne, že
(10) |
Podle Fubiniovy věty nyní platí
V integrálech zavedeme substituci tedy
kde označuje křivkový integrál z funkce přes uzavřenou křivku Analogicky ukážeme, že