Slovník | Vyhledávání | Mapa webu
 
Analýza a modelování dynamických biologických datSpojité deterministické modely I Lineární rovnice Lineární diferenciální rovnice vyššího řádu

Logo Matematická biologie

Lineární diferenciální rovnice vyššího řádu

Jedná se o rovnici tvaru

kde funkce jsou definované na nějakém intervalu

Je-li rovnice se nazývá homogenní, v opačném případě nehomogenní.

Rovnice

se nazývá přidružená homogenní rovnice k rovnici Lineární rovnice (8).

Spolu s rovnicí Lineární rovnice (8) uvažujeme počáteční podmínky

Rovnice Lineární rovnice (8) ekvivalentní s vektorovou rovnicí (se systémem rovnic)

tj.

Počáteční podmínky k vektorové rovnici Lineární rovnice (11) jsou tvaru

Z tohoto faktu a z vět Lineární rovnice 1.1, Lineární rovnice 2.1 a Lineární rovnice 2.4 plynou následující tři tvrzení:

Věta 5.1. Jsou-li všechny funkce  spojité na intervalu  a pak má počáteční problém Lineární rovnice (8), Lineární rovnice (10) právě jedno řešení, které existuje na celém intervalu

Věta 5.2. (princip superpozice). Jsou-li řešením homogenní lineární rovnice Lineární rovnice (9) a jsou libovolné konstanty, pak také je řešením této rovnice.

Věta 5.3. Jsou-li všechny funkce  spojité na intervalu  pak množina všech řešení rovnice Lineární rovnice (9) tvoří -rozměrný vektorový prostor.

Poznámka 5.4. Rovnice Lineární rovnice (8) je lineární rovnicí vyššího řádu, na jejíž nehomogenitu můžeme pohlížet v teorii dynamických systémů (signálů) jako na vstup a na její řešení pak jako na výstup lineárního systému. Je třeba si uvědomit, že linearitou v teorii dynamických systémů se rozumí platnost principu superpozice pro vstupní a výstupní signál (funkci), nikoliv jako principu superpozice popsaného větou Lineární rovnice 5.2. Pokud jsou vstupy systému popsaného rovnicemi

s různými pravými stranami a jsou nějaká řešení příslušná těmto rovnicím (můžeme si představit, že jsou určena jednoznačně tím, že máme dány nějaké počáteční podmínky), pak vstup, který je lineární kombinací těchto vstupů určuje výstup jako řešení rovnice

Z platnosti Lineární rovnice (12) a linearity levé strany rovnice pak plyne, že jsou řešením této rovnice, neboli výstupem systému. Lineární kombinace vstupů dává tedy příslušnou lineární kombinaci odpovídajících výstupů systému. V pojetí teorie diferenciálních rovnic je princip superpozice chápán jako vlastnost řešení téže homogenní rovnice. Je třeba si také uvědomit, že linearita levé strany rovnice je v případě lineárních rovnic vyšších řádů speciálním případem. Princip superpozice vzhledem ke vstupu a výstupu bude platit vždy, když bude systém jako takový popsán nějakým lineárním operátorem (v tomto případě je to součet derivací, ale může jít o integrální operátor atd.).

Definice 5.5. Báze vektorového prostoru všech řešení rovnice Lineární rovnice (9) se nazývá fundamentální systém řešení rovnice Lineární rovnice (9).

Z ekvivalence lineární rovnice -tého řádu Lineární rovnice (8) a lineárního -rozměrného systému Lineární rovnice (11) plyne, že funkce tvoří fundamentální systém řešení rovnice Lineární rovnice (9) právě tehdy, když maticová funkce

je fundamentální maticí řešení homogenního systému přidruženého k systému Lineární rovnice (11). To nastává právě tehdy, když každá z funkcí  je řešením homogenní rovnice Lineární rovnice (9) a sloupce matice  jsou lineárně nezávislé v nějakém, a v důsledku toho (podle lemma Lineární rovnice 2.2 z části Struktura řešení lineární homogenní rovnice) v každém 

Definice 5.6. Buďte funkce jedné reálné proměnné. Funkce definovaná vztahem

se nazývá wronskián funkcí .

Následující výroky jsou ekvivalentní a charakterizují řešení homogenní rovnice Lineární rovnice (9):

  •  
Funkce  tvoří fundamentální systém řešení rovnice Lineární rovnice (9) na intervalu
  •  
Každá z funkcí  je řešením rovnice Lineární rovnice (9) a pro jejich wronskián platí v nějakém
  •  

Obecné řešení rovnice Lineární rovnice (9) je tvaru

kde jsou konstanty.

Nechť funkce  tvoří fundamentální systém řešení rovnice Lineární rovnice (9). Při označení

lze obecné řešení homogenní rovnice Lineární rovnice (9) zapsat ve tvaru

Z věty Lineární rovnice 2.6, ekvivalence rovnice Lineární rovnice (8) a systému Lineární rovnice (11) plyne následující tvrzení.

Věta 5.7. Nechť funkce  jsou spojité na intervalu Pak obecné řešení lineární rovnice -tého řádu Lineární rovnice (8) je tvaru

kde je libovolné partikulární řešení rovnice Lineární rovnice (9), je fundamentální systém řešení přidružené homogenní rovnice Lineární rovnice (9) a jsou konstanty.

 
vytvořil Institut biostatistiky a analýz Masarykovy univerzity | | zpětné odkazy | validní XHTML 1.0 Strict