Slovník | Vyhledávání | Mapa webu
 
Analýza a modelování dynamických biologických datSpojité deterministické modely I Elementární metody řešení Lineární rovnice

Logo Matematická biologie

Lineární rovnice

Lineární rovnice je rovnice typu 
 
1 (homogenní rovnice) 
 
Je to rovnice se separovanými proměnnými. Partikulární řešení počátečního problému (s podmínkou Obyčejné diferenciální rovnice (2)) je:

 

Obecné řešení homogenní lineární rovnice lze tedy zapsat
 
 
2.  (nehomogenní rovnice) 
 
Řešení hledáme ve tvaru
 
 
(metoda variace konstanty). Pak
 
 
 
Dosazením do dané rovnice dostaneme

 

Obecné řešení nehomogenní rovnice tedy je
 
 
Partikulární řešení splňující počáteční podmínku Obyčejné diferenciální rovnice (2) je
 
 
Jsou-li koeficienty konstantní, , pak
 
 
 
Jiný postup při řešení nehomogenní rovnice:
 
 

 

 
Příklad:  V předchozí kapitole jsme si uvedli příklad s pěstováním a sklizní bylinek, který vedl na lineární diferenciální rovnici Obyčejné diferenciální rovnice (3)
 
 
Obecné řešení metodou variace konstanty hledáme nejprve pomocí nalezení obecného řešení homogenní lineární rovnice , tj. . Partikulární řešení nehomogenní rovnice budeme tedy hledat ve tvaru  , přičemž dosazením do Obyčejné diferenciální rovnice (3) dostáváme
 
 
 
 
(integrací per partes)

 

Obecným řešením nehomogenní rovnice je tedy 
 
 
Pokud budeme hledat řešení Cauchyových úloh s počáteční podmínkou  resp. , musíme najít vhodnou hodnotu konstanty , tj. pro podmínku   dostáváme
 
 
analogicky podmínku   dostáváme
 
 
Tím dostáváme ona dvě partikulární řešení příslušných počátečních úloh 
 

 

Úlohy k procvičení

 
vytvořil Institut biostatistiky a analýz Masarykovy univerzity | | zpětné odkazy | validní XHTML 1.0 Strict