Laplaceova transformace

Definice 1.1. Nechť je komplexní funkce definovaná na kterou budeme nazývat předmětem. Pokud alespoň pro jedno komplexní existuje a má konečnou hodnotu integrál

pak nazýváme Laplaceovým obrazem funkce 

Vztah mezi předmětem a jeho obrazem se nazýváme Laplaceova transformace a zapisujeme

Příklad. Najdeme Laplaceův obraz reálné funkce Podle definice hledáme integrál

Uvědomme si, že platí tedy a

Proto

a Laplaceův obraz

existuje a je konečný pokud  V polorovině  tedy platí

Definice 1.2. Funkce  se nazývá funkce exponenciálního řádu s indexem růstu jestliže bod je hromadným bodem jejího definičního oboru a jestliže existuje takové a takové číslo že nerovnost

platí pro všechna pro která je funkce definována. Píšeme potom

Definice 1.3. Komplexní funkce  reálné proměnné se nazývá předmět standardního typu, má-li tyto tři vlastnosti:

1. Je po částech spojitá na intervalu
2. Je exponenciálního řádu.
3. Rovná se nule pro všechna

Protože některé zvláště jednoduché a často se vyskytující funkce, jako funkce goniometrické apod., nejsou pro záporná  rovny nule, nejsou to vlastně předměty standardního typu. Proto bychom místo nich měli správně používat funkcí definovaných např. takto:

K zjednodušení zápisu používáme tzv. Heavisideovy funkce definované takto:

Obraz Heavisideovy funkce lze snadno určit užitím definice Laplaceova obrazu:

v polorovině 

Následující tabulka bývá často nazývána jako „slovník Laplaceovy transformace“. V levém sloupci jsou uvedeny předměty  v pravém pak příslušné Laplaceovy obrazy. Tato tabulka korespondencí usnadňuje používání Laplaceovy transformace, protože není třeba odvozovat Laplaceových obrazy z definice.

Tab. 1.1. Slovník Laplaceovy transformace.

Úlohy k procvičení