Věta o existenci a jednoznačnosti řešení

Věta 1.1: Nechť maticová funkce a vektorová funkce  jsou spojité na intervalu . Pak má počáteční problém Lineární rovnice (1), Lineární rovnice (2) právě jedno řešení, které existuje na celém intervalu

Důkaz: Vzhledem k Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic 2.1 a Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic 3.3 stačí ukázat, že ke každému  existuje okolí  takové, že funkce  je Lipschitzovská vzhledem k  na

Je-li  vnitřní bod intervalu , existuje  takové, že     

Položme  (toto maximum existuje podle druhé Weierstrassovy věty) a Podle Lineární rovnice (2) je maticová norma souhlasná s vektorovou normou a z toho plyne, že pro každé a každé dva vektory platí nerovost

Je-li pravý krajní bod intervalu , položíme

a provedeme   analogickou úvahu. Pro levý krajní bod intervalu provedeme důkaz podobně.

Úlohy k procvičení