Základní pojmy
Definice 2.1. Nechť je řešením úlohy Obyčejné diferencální rovnice (1), Obyčejné diferenciálné rovnice (2) na intervalu a je řešením úlohy
Obyčejné diferenciální rovnice (1), Obyčejné diferenciálné rovnice (2) na intervalu , . Jestliže a pro každé je , řekneme, že řešení je prodloužením řešení a že řešení je zúžením řešení . Jestliže řešení úlohy Obyčejné diferenciální rovnice (1), Obyčejné diferenciálné rovnice (2) není zúžením žádného jiného řešení této úlohy, řekneme, že je úplným (neprodlužitelným) řešením úlohy Obyčejné diferenciální rovnice (1), Obyčejné diferenciální rovnice (2).
V dalším budeme pod pojmem "řešení" rozumět úplné řešení.
Příklad:
kde je libovolné číslo, jsou tři různá úplná řešení počáteční úlohy
Definice 2.2. Buď funkce dvou proměnných. Řekneme, že je obecným řešením rovnice Obyčejné diferenciální rovnice (1), jestliže ke každému existuje takové, že je řešením úlohy Obyčejné diferenciální rovnice (1), Obyčejné diferenciální rovnice (2).
Řešení úlohy Obyčejné diferenciální rovnice (1) , Obyčejné diferenciální rovnice (2) se nazývá partikulární řešení rovnice Obyčejné diferenciální rovnice (1).
Proměnnou funkce považujeme za nezávisle proměnnou reálné funkce jedné reálné proměnné, proměnnou považujeme za parametr.
Poznámka 2.3. Geometrická interpretace
Rovnice Obyčejné diferenciální rovnice (1) přiřazuje každému bodu z právě jednu hodnotu , tedy každému bodu lze přiřadit směrový vektor tečny k integrální křivce v bodě , tj. přímky . Tento vektor má souřadnice . To znamená, že rovnice Obyčejné diferenciální rovnice (1) definuje na vektorové pole1. Toto pole se nazývá směrové pole rovnice Obyčejné diferenciální rovnice (1).
Každá integrální křivka rovnice Obyčejné diferenciální rovnice (1) je vektorovou čárou2 směrového pole. Směrové pole tedy poskytuje
představu o průběhu řešení rovnice Obyčejné diferenciální rovnice (1).
Vrstevnice funkce (tj. křivky zadané rovnicí ) se nazývají izokliny rovnice Obyčejné diferenciální rovnice (1). Jsou to křivky, na nichž mají vektory ze směrového pole stejný směr.
Úlohy k procvičení
1Vektorové pole na množině je zobrazení množiny do (konečně rozměrného reálného) vektorového prostoru, tj. v našem případě je .
2Vektorová čára vektorového pole je křivka v taková, že vektorm je tečným vektorem k této křivce v bodě .