Obecné řešení
Řešení rovnice Lineární rovnice (7) budeme hledat ve tvaru , kde je konstantní vektor a je zatím neznámé číslo. Hodnota musí splňovat rovnosti
takže vzhledem k tomu, že musí platit
To znamená, že je vlastní hodnotou matice a je příslušný vlastní vektor.
Nyní rozlišíme tři případy:
(i) |
Jsou-li , různé vlastní hodnoty matice a , jsou příslušné vlastní vektory, pak jsou lineárně nezávislá řešení rovnice Lineární rovnice (7).
Důkaz. Tvrzení plyne z předchozího výpočtu a faktu, že vlastní vektory příslušné k různým vlastním hodnotám jsou lineárně nezávislé. |
(ii) |
Je-li $lambda$ vlastní hodnota matice , příslušný vlastní vektor, přičemž je -násobným kořenem charakteristického polynomu pak funkce
jsou pro vhodné vektory řešením rovnice Lineární rovnice (7).
Důkaz ukážeme pro V případě vyšší násobnosti kořene charakteristické rovnice lze postupovat analogicky. Nechť je dvojnásobný kořen charakteristického polynomu. Buď diferencovatelná (a tedy spojitá) maticová funkce definovaná na okolí nuly taková, že , je pro každé z definičního oboru funkce jednoduchým kořenem charakteristického polynomu matice a existuje jednoduchý kořen charakteristického polynomu, pro nějž platí
(Matici nepatrně porušíme tak, aby se dvojnásobný kořen rozdělil na dva různé jednoduché.) Označme (resp. ) vlastní vektor matice příslušný k vlastní hodnotě (resp. ). Z diferencovatelnosti funkce plyne podle věty o diferencovatelnosti implicitně zadané funkce (sr. Z. Došlá, O. Došlý: Diferenciální počet funkcí více proměnných. MU, Brno 1999, 8.1) diferencovatelnost funkcí a zejména tedy existence limit
Rovnice má podle předchozí úvahy řešení a a podle principu superpozice Lineární rovnice 2.1 také řešení
Poněvadž
plyne z věty o spojité závislosti řešení na parametrech Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic 3.9, že rovnice Lineární rovnice (7) má řešení
při výpočtu limity bylo využito de l'Hospitalovo pravidlo. Označíme-li nyní dostaneme tvrzení. |
(iii) |
Má-li rovnice Lineární rovnice (7) komplexní řešení kde a jsou reálné vektorové funkce, a řešení je lineárně nezávislé na libovolném nenulovém reálném řešení této rovnice, pak a jsou lineárně nezávislými reálnými řešeními rovnice Lineární rovnice (7).
Důkaz. Platí Porovnáním reálných a imaginárních částí této rovnosti dostaneme, že funkce a jsou řešeními rovnice Lineární rovnice (7). Kdyby vektorové funkce a byly lineárně závislé, tj. , pak by a řešení by bylo násobkem reálného nenulového řešení . To by byl spor s předpokladem tvrzení. |