Slovník | Vyhledávání | Mapa webu
 
Analýza a modelování dynamických biologických datSpojité deterministické modely I Lineární rovnice Homogenní lineární systém s konstantní maticí Obecné řešení

Logo Matematická biologie

Obecné řešení

Řešení rovnice Lineární rovnice (7) budeme hledat ve tvaru , kde je konstantní vektor a je zatím neznámé číslo. Hodnota  musí splňovat rovnosti

takže vzhledem k tomu, že musí platit

To znamená, že  je vlastní hodnotou matice  a je příslušný vlastní vektor.

Nyní rozlišíme tři případy:

(i)

Jsou-li , různé vlastní hodnoty matice   a , jsou  příslušné vlastní vektory, pak jsou lineárně nezávislá řešení rovnice Lineární rovnice (7).

 

Důkaz. Tvrzení plyne z předchozího výpočtu a faktu, že vlastní vektory příslušné k různým vlastním hodnotám jsou lineárně nezávislé. 

(ii)

 Je-li $lambda$ vlastní hodnota matice  příslušný vlastní vektor, přičemž  je -násobným kořenem charakteristického polynomu pak funkce

 

 

jsou pro  vhodné vektory  řešením rovnice Lineární rovnice (7).

 

Důkaz ukážeme pro V případě vyšší násobnosti kořene charakteristické rovnice lze postupovat analogicky. 

Nechť  je dvojnásobný kořen charakteristického polynomu. Buď  diferencovatelná (a tedy spojitá) maticová funkce definovaná na okolí nuly taková, že  je pro každé   z definičního oboru funkce jednoduchým kořenem charakteristického polynomu matice a existuje jednoduchý kořen charakteristického polynomu, pro nějž platí

 

 

(Matici  nepatrně porušíme tak, aby se dvojnásobný kořen rozdělil na dva  různé jednoduché.)

Označme (resp. ) vlastní vektor matice příslušný k vlastní hodnotě (resp. ). Z diferencovatelnosti funkce  plyne  podle věty o diferencovatelnosti implicitně zadané funkce (sr.  Z. Došlá, O. Došlý: Diferenciální počet funkcí více proměnných.  MU, Brno 1999, 8.1) diferencovatelnost funkcí a zejména tedy existence limit

 

 

Rovnice má podle předchozí úvahy řešení a a podle principu superpozice Lineární rovnice 2.1 také řešení

 

 

Poněvadž

 

 

plyne z věty o spojité závislosti řešení na parametrech Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic 3.9, že rovnice Lineární rovnice (7) má řešení

 

 

při výpočtu limity bylo využito de l'Hospitalovo pravidlo. Označíme-li nyní

dostaneme tvrzení.

(iii)

Má-li rovnice Lineární rovnice (7) komplexní řešení  kde a jsou reálné vektorové funkce, a řešení je lineárně nezávislé na libovolném nenulovém reálném řešení této rovnice, pak  a  jsou lineárně nezávislými reálnými řešeními rovnice Lineární rovnice (7).

 

Důkaz. Platí

Porovnáním reálných a imaginárních částí této rovnosti dostaneme, že funkce  a  jsou řešeními rovnice Lineární rovnice (7).

Kdyby vektorové funkce  a  byly lineárně závislé, tj. , pak by   a řešení by bylo násobkem reálného nenulového řešení . To by byl spor s předpokladem tvrzení.

 

 
vytvořil Institut biostatistiky a analýz Masarykovy univerzity | | zpětné odkazy | validní XHTML 1.0 Strict