Slovník | Vyhledávání | Mapa webu
 
Analýza a modelování dynamických biologických datSpojité deterministické modely I Biochemické modely Chemické oscilace

Logo Matematická biologie

Chemické oscilace

Jak již bylo uvedeno, existenci oscilujících chemických reakcí vědci dlouho považovali za nemožnou. V druhé polovině 20. století se však objevil matematický model chemických reakcí se vznikem oscilací, který podle místa svého vzniku získal název Brusselátor. Vytvořil jej se skupinou svých spolupracovníků nositel Nobelovy ceny Ilya Prigogine na Svobodné univerzitě v Bruselu. Chemický model Brusselátor je čistě teoretický, následně však na jeho základě byly objeveny a experimentálně potvrzeny mnohé oscilující chemické reakce. Dnes jsou v biochemii tyto reakce považovány za základ tzv. buněčných hodin i jiných vnitřních cyklů biologických organismů.

Příklad. Chemický model Brusselátor.
Uvažujme jednosměrné chemické reakce

kde jsou rychlosti reakcí a dále předpokládejme, že a dále do reakcí nevstupují a odebírají se.  Koncentrace a se uměle udržují konstantní. Kinetické rovnice reakce pak popisuje systém

Označme

pak lze systém zjednodušit na tvar

  (22)
 

Je zřejmé, že rovnovážným stavem je Jacobiho matice v tomto bodě má tvar

 Odvoďte!

Pro tuto matici platí

podle třetí výukové jednotky o obecných vlastnostech diferenciálních rovnic (viz tabulka 6.1) je tedy rovnovážný bod stabilní  pokud splňuje podmínku v opačném případě je nestabilní. Navíc lze prokázat, že pro hodnoty blízké této tzv. kritické hodnotě dochází k vzniku stabilního limitního cyklu v okolí nestabilního ohniska. Tomuto jevu se říká Hopfova bifurkace a jde o základní mechanismus tvorby endogenních oscilací ve spojitých dynamických systémech. Podobně jako jsme to viděli u přepínače i tento jev může vzniknout pouze u nelineárních systémů a lineárními systémy jej ani nelze aproximovat. Kritická hodnota totiž odpovídá situaci, kdy rovnovážný bod není hyperbolický a má dvě ryze imaginární komplexně sdružené vlastní hodnoty a selhává tedy metoda linearizace. Na následujícím obrázku jsou zobrazeny fázové prostory systému Biochemické modely (22) s atrahujícími varietami pro zvětšující se v okolí kritické hodnoty

Obr. 8. Vznik stabilních limitních cyklů v modelu Brusselátoru. Obrázek je simulován pro a=1, kritická hodnota změny stability a vzniku cyklu je b*=2 v nehyperbolickém bodě [1,1].

 

Úlohy k procvičení

 
vytvořil Institut biostatistiky a analýz Masarykovy univerzity | | zpětné odkazy | validní XHTML 1.0 Strict