Stabilita
Definice 3.1. (Persidskij [1903-1970]). Nechť 
je řešení systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) definované na intervalu 
Řešení 
se nazývá stejnoměrně stabilní, jestliže ke každému 
existuje 
tak, že pro každé 
všechna řešení 
systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) splňující podmínku 
existují pro všechna 
a splňují pro ně nerovnost 
Není-li řešení systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) stejnoměrně stabilní, nazývá se nestabilní.
Definice 3.2. (Ljapunov [1857-1918]). Nechť je řešení systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) definované na intervalu Řešení se nazývá stejnoměrně asymptoticky stabilní, je-li stejnoměrně stabilní a existuje tak, že pro každé 
a všechna řešení systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) splňující podmínku 
platí 
Ze struktury prostoru řešení lineárního homogenního systému s konstantními koeficienty (sr. ref{rSLRk}) plynou následující tři věty.
Věta 3.3. Buď 
konstantní matice. Jestliže všechny kořeny její charakteristické rovnice 
(vlastní čísla matice ) mají nekladnou reálnou část a ty s nulovou reálnou částí jsou jednoduché, pak řešení 
lineárního autonomního systému
je stejnoměrně stabilní.
Věta 3.4. Jestliže alespoň jedno vlastní číslo matice má kladnou reálnou část, pak řešení lineárního autonomního systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (11) je nestabilní.
Věta 3.5. Řešení lineárního autonomního systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (11) je stejnoměrně asymptoticky stabilní právě tehdy, když každé vlastní číslo matice má zápornou reálnou část.
Uvažujme nyní perturbovaný lineární systém s konstantními koeficienty
Věta 3.6. Buď 
fundamentální matice řešení systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (11). Jestliže existují konstanty 
a 
takové, že
a 
pro 
pak řešení systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (12) je stejnoměrně asymptoticky stabilní.
Důkaz. J. Kalas, M. Ráb: Obyčejné diferenciální rovnice. MU, Brno 2001, str. 130-131.
Poznámka 3.7. Podmínka Autonomní systémy a kvalitativní teorie (13) zaručí stejnoměrnou asymptotickou stabilitu nulového řešení systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (11). Věta říká, že je-li perturbace 
v jistém smyslu dostatečně malá, zůstává zachována stejnoměrná asymptotická stabilita nulového řešení rovnice Autonomní systémy a kvalitativní teorie (12).
Z hlediska aplikací je důležité vyšetřování stejnoměrné asymptotické stability konstantních řešení (stacionárních bodů) rovnice Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1).
Je-li funkce 
dvakrát spojitě diferencovatelná a 
pak podle Taylorovy věty pro funkce více proměnných platí
kde 
a 
je příslušný Taylorův zbytek. Vyšetřování stejnoměrné asymptotické stability konstantních řešení rovnice Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) lze transformací 
převést na vyšetřování stejnoměrné asymptotické stability nulového řešení rovnice
kde 
a tu vyšetřit podle věty Autonomní systémy a kvalitativní teorie 3.6.
Věta 3.8. Buď 
stacionární bod systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) a nechť zobrazení je spojitě diferencovatelné.
Mají-li všechna vlastní čísla variační matice 
záporné reálné části, pak konstantní řešení 
systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) je stejnoměrně asymptoticky stabilní.
Pokud existuje vlastní číslo variační matice s kladnou reálnou částí, pak je konstantní řešení systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) nestabilní.
Důkaz. J. Kalas, M. Ráb: Obyčejné diferenciální rovnice. MU, Brno 2001, str. 137-138.
První tvrzení věty Autonomní systémy a kvalitativní teorie 3.8 říká, že stok je asymptoticky stabilní, sr. def. Autonomní systémy a kvalitativní teorie 1.5.
