Slovník | Vyhledávání | Mapa webu
 
Analýza a modelování dynamických biologických datSpojité deterministické modely I Autonomní systémy a kvalitativní teorie Stabilita

Logo Matematická biologie

Stabilita

Definice 3.1. (Persidskij [1903-1970]). Nechť je řešení systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) definované na intervalu Řešení se nazývá stejnoměrně stabilní, jestliže ke každému existuje tak, že pro každé všechna řešení systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) splňující podmínku existují pro všechna a splňují pro ně nerovnost

Není-li řešení  systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) stejnoměrně stabilní, nazývá se nestabilní.

Definice 3.2. (Ljapunov [1857-1918]). Nechť  je řešení systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) definované na intervalu  Řešení  se nazývá stejnoměrně asymptoticky stabilní, je-li stejnoměrně stabilní a existuje  tak, že pro každé  a všechna řešení  systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) splňující podmínku platí

Ze struktury prostoru řešení lineárního homogenního systému s konstantními koeficienty (sr. ref{rSLRk}) plynou následující tři věty.

Věta 3.3. Buď konstantní matice. Jestliže všechny kořeny její charakteristické rovnice (vlastní čísla matice ) mají nekladnou reálnou část a ty s nulovou reálnou částí jsou jednoduché, pak řešení lineárního autonomního systému 

(11)

je stejnoměrně stabilní.

Věta 3.4. Jestliže alespoň jedno vlastní číslo matice  má kladnou reálnou část, pak řešení  lineárního autonomního systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (11) je nestabilní.

Věta 3.5. Řešení  lineárního autonomního systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (11) je stejnoměrně asymptoticky stabilní právě tehdy, když každé vlastní číslo matice  má zápornou reálnou část.

Uvažujme nyní perturbovaný lineární systém s konstantními koeficienty

(12)

Věta 3.6. Buď fundamentální matice řešení systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (11). Jestliže existují konstanty a takové, že

(13)

a pro  pak řešení  systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (12) je stejnoměrně asymptoticky stabilní.

Důkaz. J. Kalas, M. Ráb: Obyčejné diferenciální rovnice. MU, Brno 2001, str. 130-131.

Poznámka 3.7. Podmínka Autonomní systémy a kvalitativní teorie (13) zaručí stejnoměrnou asymptotickou stabilitu nulového řešení systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (11). Věta říká, že je-li perturbace v jistém smyslu dostatečně malá, zůstává zachována stejnoměrná asymptotická stabilita nulového řešení rovnice Autonomní systémy a kvalitativní teorie (12).

Z hlediska aplikací je důležité vyšetřování stejnoměrné asymptotické stability konstantních řešení (stacionárních bodů) rovnice Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1).

Je-li funkce  dvakrát spojitě diferencovatelná a pak podle Taylorovy věty pro funkce více proměnných platí

kde a  je příslušný Taylorův zbytek. Vyšetřování stejnoměrné asymptotické stability konstantních řešení rovnice Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) lze transformací převést na vyšetřování stejnoměrné asymptotické stability nulového řešení rovnice

kde a tu vyšetřit podle věty Autonomní systémy a kvalitativní teorie 3.6.

Věta 3.8. Buď stacionární bod systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) a nechť zobrazení  je spojitě diferencovatelné.

Mají-li všechna vlastní čísla variační matice záporné reálné části, pak konstantní řešení systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) je stejnoměrně asymptoticky stabilní.

Pokud existuje vlastní číslo variační matice  s kladnou reálnou částí, pak je konstantní řešení  systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) nestabilní.

Důkaz.  J. Kalas, M. Ráb: Obyčejné diferenciální rovnice. MU, Brno 2001, str. 137-138.

První tvrzení věty Autonomní systémy a kvalitativní teorie 3.8 říká, že stok je asymptoticky stabilní, sr. def. Autonomní systémy a kvalitativní teorie 1.5.

 
vytvořil Institut biostatistiky a analýz Masarykovy univerzity | | zpětné odkazy | validní XHTML 1.0 Strict