Obecné vlastnosti Lotkových-Volterrových systémů

Zavedeme označení

matice se nazývá matice interakcí společenstva. Pro libovolný vektor položíme

a vektory ze standardní  orthonormální báze -rozměrného vektorového prostoru označíme

Systém Lotkovy-Volterrovy systémy (1) lze zapsat jako vektorovou rovnici

(5)

Je-li matice regulární, existuje nejvýše jeden stacionární bod systému Lotkovy-Volterrovy systémy (1) takový, že všechny jeho složky jsou kladné. Takový stacionární bod budeme nazývat vnitřní. Pokud vnitřní stacionární bod existuje, lze tuto skutečnost interpretovat jako možnou koexistenci všech populací společenstva, přičemž koexistující populace mají dynamicky stálé velikosti dané složkami vektoru

Parciální derivace pravé strany rovnice Lotkovy-Volterrovy systémy (5) podle -té proměnné je

a pro vnitřní stacionární bod platí Proto variační matice systému Lotkovy-Volterrovy systémy (1) ve vnitřním stacionárním bodě  je

Odtud a z věty  Autonomní systémy a kvalitativní teorie 3.8 v kapitole Autonomní systémy plyne:

Věta 2.1. Buď  stacionární bod systému Lotkovy-Volterrovy systémy (1), jehož všechny složky jsou nenulové. Mají-li všechna vlastní čísla matice kladnou reálnou část, pak konstantní řešení systému Lotkovy-Volterrovy systémy (1) je stejnoměrně asymptoticky stabilní.

Pokud existuje vlastní číslo matice  které má zápornou reálnou část, pak je konstantní řešení  systému Lotkovy-Volterrovy systémy (1) nestabilní.

Poznámka 2.2. Pro čtvercovou matici položme Matice je zřejmě symetrická.

Pro každý -rozměrný vektor a čtvercovou matici  řádu platí

Důkaz. Poněvadž je číslo, tj. čtvercová matice řádu 1, platí

Odtud plyne

a tato rovnost je již ekvivalentní s dokazovaným vztahem.

Věta 2.3. Buď vnitřní stacionární bod systému  Lotkovy-Volterrovy systémy (1). Jestliže existuje konstantní vektor se všemi složkami kladnými a existuje okolí bodu  takové, že pro všechna je výraz

(6)

nezáporný, pak funkce

je ljapunovskou funkcí systému Lotkovy-Volterrovy systémy (1), tj. konstantní řešení  systému Lotkovy-Volterrovy systémy (1) je stejnoměrně stabilní.

Pokud je výraz Lotkovy-Volterrovy systémy (6) pro všechna kladný, pak je toto řešení stejnoměrně asymptoticky stabilní.

Důkaz. Funkce je definována pro všechna Platí

Pro každé je

neboť integrovaná funkce je kladná pro (tj. v případě, že horní mez integrálu je větší, než dolní mez) a záporná pro (horní mez integrálu menší než dolní mez). Rovnost nastane právě tehdy, když Odtud plyne, že pro a takové, že všechny jeho složky jsou kladné, platí

Dále podle věty o derivaci integrálu jako funkce horní meze platí

a poněvadž platí dále

takže derivace funkce vzhledem k systému Lotkovy-Volterrovy systémy (1) je

(poslední rovnost plyne z poznámky Lotkovy-Volterrovy systémy 2.2). Věta nyní plyne z Ljapunovovy přímé metody Autonomní systémy a kvalitativní teorie 4.2 a důsledku Autonomní systémy a kvalitativní teorie 4.3 uvedené v kapitole Autonomní systémy.

Důsledek 2.4. Nechť systém Lotkovy-Volterrovy systémy (1) má vnitřní stacionární bod 

Jestliže existuje konstantní vektor se všemi složkami kladnými takový, že matice

(7)

je pozitivně semidefinitní, pak konstantní řešení systému Lotkovy-Volterrovy systémy (1) je stejnoměrně stabilní.

Pokud je matice Lotkovy-Volterrovy systémy (7) pozitivně definitní, pak konstantní řešení  systému Lotkovy-Volterrovy systémy (1) je stejnoměrně asymptoticky stabilní.