Testy o střední hodnotě při neznámém rozptylu (t-test pro jeden výběr)
Cíl t-testu pro jeden výběr je stejný jako u z-testu, tedy také chceme testovat hypotézu, zda data náhodného výběru pochází z rozdělení se stejnou střední hodnotou, jako je předpokládaná konstanta μ0. Stejný je i předpoklad, že data pochází z normálního rozdělení, tedy že platí Xi ~ N(μ,σ2). Rozdíl mezi oběma testy je v tom, že u t-testu pro jeden výběr nepředpokládáme znalost parametru σ, což znamená, že pro testování nemůžeme jednoduše použít výše uvedenou statistiku Z. Abychom se zbavili nutnosti specifikovat parametr σ, je třeba definovat statistiku K tak, že
|
|
(7.3) |
Statistika K má chí-kvadrát rozdělení pravděpodobnosti s (n – 1) stupni volnosti, tedy K ~ χ2(n–1). Statistiky Z a K použijeme ke konstrukci statistiky T:
|
|
(7.4) |
Statistika T již neobsahuje neznámý parametr σ, který je nahrazen jeho výběrovým odhadem ve formě výběrové směrodatné odchylky, s. Lze ukázat, že statistika T má Studentovo t rozdělení pravděpodobnosti s (n – 1) stupni volnosti, tedy T ~ t(n–1). Pravidla pro zamítnutí nulové hypotézy na základě výsledné hodnoty statistiky T (dle zvolené alternativy a hladiny významnosti testu) jsou pro t-test pro jeden výběr obdobná jako pro z-test pro jeden výběr pouze s tím rozdílem, že jako kritické hodnoty používáme příslušné kvantily Studentova t rozdělení s parametrem (n – 1). Pravidla pro zamítnutí nulové hypotézy platná pro t-test pro jeden výběr dle zvolené alternativy jsou uvedena v tabulce 7.2.
Tab. 7.2: Pravidla pro zamítnutí H0 pro t-test pro jeden výběr dle zvolené alternativy.
| Alternativa |
|
→ Zamítáme H0, když |
|
| Alternativa |
|
→ Zamítáme H0, když |
|
| Alternativa |
|
→ Zamítáme H0, když |
|
Příklad 7.1. Pomocí t-testu pro jeden výběr chceme srovnat průměrný denní energetický příjem skupiny 11 žen ve věku 22 – 30 let s doporučenou populační hodnotou, kterou je 7725 kJ (hodnoty převzaty z [1]). Pozorovaný průměrný energetický příjem skupiny 11 žen byl 6753,6 kJ se směrodatnou odchylkou s = 1142,1 kJ. Předpokládejme, že nemáme představu o stravovacích návycích mladých žen, proto zvolíme oboustrannou alternativu. Nulová hypotéza, H0, a jí příslušná oboustranná alternativa, H1, pak mají tvar
(7.5) K ověření nulové hypotézy použijeme testovou statistiku T, která je dána vztahem (7.4). Výpočet realizace testové statistiky T tedy znamená pouze dosazení výběrových charakteristik a je následující:
(7.6) Vzhledem k tomu, že alternativní hypotéza je oboustrannou alternativou, pro rozhodnutí o platnosti H0 je třeba srovnat absolutní hodnotu realizace testové statistiky, tedy číslo 2,821, se 100(1 – α/2)procentním kvantilem t rozdělení s n – 1 (tedy 10) stupni volnosti, což je hodnota 2,228. V souladu s tabulkou 7.2 platí, že
(7.7) a tedy zamítáme H0 na hladině významnosti α = 0,05. Jinými slovy, na hladině významnosti α = 0,05 můžeme říci, že sledovaná skupina žen měla statisticky významně odlišný (nižší) denní energetický příjem, než je doporučená hodnota 7725 kJ.
