Neparametrický test pro dva výběry (Mannův-Whitneyho test)

Mannův-Whitneyho test je neparametrickou alternativou t-testu pro dva výběry ve chvíli, kdy není splněn některý z jeho předpokladů, respektive máme-li o platnosti některého z jeho předpokladů pochyby. Nulová hypotéza Mannova-Whitneyho testu není zaměřena na střední hodnoty, ale místo toho předpokládáme stejné rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny v obou souborech, což je slabší předpoklad než normalita dat. Nulová hypotéza se tak týká srovnatelnosti dvou distribučních funkcí, kterou zapíšeme jako

(7.31)

Mějme realizaci prvního náhodného výběru o rozsahu n₁: x₁, x₂, … , x_n1, a na ní nezávislou realizaci druhého náhodného výběru o rozsahu n₂: y₁, y₂, … , y_n2. Pointa výpočtu Mannova-Whitneyho testu je následující: pokud pozorování x_i a y_j (i = 1, ... , n₁; j = 1, ... , n₂) pochází ze stejného rozdělení pravděpodobnosti, pak by pravděpodobnost toho, že náhodně vybraná hodnota x_i bude větší než náhodně vybraná hodnota y_j (P(x_i > y_j)) měla být 50 %. To je ekvivalentní tomu, že při srovnání všech dostupných dvojic x_i a y_j bude v případě cca 50 % těchto dvojic větší hodnota x_i a naopak.

Pro výpočet nejprve seřadíme všechna pozorování od nejmenšího po největší tak, jako by byly z jednoho vzorku, a přiřadíme jednotlivým hodnotám jejich pořadí. Symbolem T₁ označíme součet pořadí hodnot příslušných první skupině. Testovými statistikami pak jsou statistiky U a U´, definované jako

(7.32)

Pro rozhodnutí o platnosti nulové hypotézy srovnáme větší z hodnot U a U´ s kritickou hodnotou z tabulek (v případě oboustranného testu). Je-li kritická hodnota menší, H₀ zamítáme. Pro jednostranný test uvažujeme dle nulové hypotézy pouze buď statistiku U nebo U´. Pro výběrové soubory o velikosti n₁ > 10 a zároveň n₂ > 10 lze rozdělení pravděpodobnosti testové statistiky U aproximovat normálním rozdělením s charakteristikami

(7.33)

což znamená, že pro ověření nulové hypotézy lze dosadit uvedené hodnoty do statistiky Z a její realizaci srovnat s příslušným kvantilem standardizovaného normálního rozdělení N(0,1).

Příklad 7.5. Opět uvažujme dvě skupiny dětí s hypotyreózou z příkladu 7.4. První skupina jsou děti s mírnými symptomy, druhá skupina jsou děti s výraznými symptomy, naším cílem je srovnat u těchto dvou skupin hladinu tyroxinu v séru. T-test pro dva výběry není pro tento účel vhodný, neboť obě skupiny vykazují různý rozptyl sledované náhodné veličiny. Seřadíme-li všechna pozorování podle velikosti a přiřadíme jednotlivým hodnotám jejich pořadí, dojdeme k tomu, že součet pořadí v první skupině, tedy hodnota statistiky T₁, je roven 84,5. Toto číslo dosadíme do vztahu (7.32) a vypočteme

	(7.34)

Jako realizace testové statistiky slouží větší z vypočtených U a U´, tedy číslo 39,5, které srovnáme s kritickou hodnotou ze statistických tabulek příslušnou hladině významnosti testu α. Vzhledem k tomu, že platí

(7.35)

nezamítáme nulovou hypotézu o shodě distribučních funkcí, z nichž pochází měření tyroxinu v séru u dvou skupin dětí s hypotyreózou. Tento výsledek je na první pohled relativně překvapivý, nicméně je třeba si uvědomit, že oba výběrové soubory jsou velmi malé a test tak zřejmě nemá dostatečnou sílu na to, aby odhalil rozdíl v hodnotách tyroxinu mezi oběma skupinami.