Centrální limitní věta
Centrální limitní věta je klíčové matematické tvrzení, které popisuje pravděpodobnostní chování výběrového průměru pro velké vzorky a umožňuje tak sestrojení intervalových odhadů, a to nejen pro normálně rozdělené náhodné veličiny.
Opět mějme posloupnost X1,…, Xn nezávislých, stejně rozdělených náhodných veličin, které mají konečnou střední hodnotu μ a rozptyl σ2. Zjednodušeně řečeno, dle centrální limitní věty pak platí, že pro n → ∞ má výběrový průměr
|
|
(5.15) |
normální rozdělení se střední hodnotou μ a rozptylem σ2/n (rozdělení výběrového průměru konverguje k normálnímu rozdělení tzv. v distribuci). Průměr je zde záměrně zapsán pomocí velkého písmene X, abychom zdůraznili, že se jedná o náhodnou veličinu. Toto tvrzení je ekvivalentní s tvrzením, že za výše uvedených podmínek má náhodná veličina
|
|
(5.16) |
přibližně standardizované normální rozdělení pravděpodobnosti, N(0,1).
Zjednodušeně lze centrální limitní větu interpretovat tak, že pokud je rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny X normální, pak je i rozdělení průměru pozorovaných hodnot normální (a to i pro n = 1). Pokud však rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny X normální není, pak je rozdělení průměru pozorovaných hodnot přibližně normální, když n je dostatečně velké (matematicky řečeno, pro n jdoucí do nekonečna). Slovní obrat „dostatečně velké n“ je samozřejmě problematický, neboť každý si pod ním může představit něco jiného. Nicméně velikost souboru pro výpočet průměru by neměla být menší než 30 v případě rozdělení pravděpodobnosti podobných normálnímu a menší než 100 pro rozdělení, která nejsou podobná normálnímu.
Centrální limitní věta funguje dokonce i tehdy, když rozdělení původní náhodné veličiny není spojité, ale diskrétní. Jednoduchým příkladem je binomická náhodná veličina X, která je definována jako součet n nul a jedniček (úspěchů a neúspěchů). Pokud tuto veličinu transformujeme na Y = X / n, již dostáváme průměr, což znamená, že při dostatečném n můžeme s veličinou Y pracovat jako s veličinou s normálním rozdělením.
