Test o shodnosti (homogenitě) rozptylů dvou nezávislých výběrů (F-test)
Cílem F-testu o rovnosti dvou rozptylů je ověřit, zda dva výběrové soubory pochází z rozdělení se stejným rozptylem, což znamená ověřit, zda oba soubory vykazují přibližně stejný rozptyl sledované náhodné veličiny. Předpokladem tohoto testu je normalita pozorovaných hodnot v obou výběrových souborech, tedy předpokládáme, že platí Xi ~ N(μ1,σ12), i = 1, …, n1, a Yj ~ N(μ2,σ22), j = 1, …, n2. Nulovou hypotézu a příslušné alternativy pak zapíšeme jako
|
|
|
|
|
(7.25) |
Testová statistika F-testu využívá pro ověření nulové hypotézy informaci uloženou ve výběrových rozptylech a má tvar
|
|
(7.26) |
Tato statistika má za platnosti H0 Fisherovo F rozdělení s parametry (n1 – 1) a (n2 – 1), což zapisujeme jako F ~ F(n1 – 1, n2 – 1). Pro rozhodnutí o platnosti nulové hypotézy srovnáme hodnotu realizace statistiky F s kvantily F rozdělení příslušnými hladině významnosti testu, parametrům a zvolené alternativě. Pravidla pro zamítnutí nulové hypotézy platná pro F-test dle zvolené alternativy jsou uvedena v tabulce 7.6.
Tab. 7.6: Pravidla pro zamítnutí H0 pro F-test dle zvolené alternativy.
| Alternativa |
|
→ Zamítáme H0, když |
|
| Alternativa |
|
→ Zamítáme H0, když |
|
| Alternativa |
|
→ Zamítáme H0, když |
|
Příklad 7.4. Sledujeme dvě skupiny dětí s hypotyreózou, první skupinou jsou děti s mírnými symptomy, druhá skupina jsou děti s výraznými symptomy. Chceme u těchto dvou skupin srovnat hladinu tyroxinu v séru. Před použitím testu pro dva výběry si musíme položit následující otázku: Můžeme si dovolit použít t-test pro dva výběry ve chvíli, kdy je jedním z jeho předpokladů homogenita rozptylů ve sledovaných skupinách? Na zodpovězení této otázky použijeme F-test o rovnosti dvou rozptylů na hladině významnosti α = 0,05 s tím, že proti nulové hypotéze použijeme jednostrannou alternativu – předpokládáme totiž, že děti s výraznými symptomy budou vykazovat větší variabilitu v hodnotách tyroxinu v séru. Naměřené výběrové charakteristiky jsou uvedeny v tabulce 7.7.
Tab. 7.7: Výběrové charakteristiky skupin pacientů s hypotyreózou.
Hladina tyroxinu v séru (nmol/l)
Mírné symptomy (n1 = 9)
Výrazné symptomy (n2 = 7)
Průměr
56,4
42,1
Směrodatná odchylka
14,22
37,48
Výpočet testové statistiky je následující:
(7.27) V souladu s tabulkou 7.6 zamítáme H0, když realizace statistiky F bude nižší než kvantil Fisherova F rozdělení pro α = 0,05 a parametry n1 – 1 = 8 a n2 – 1 = 6. Vzhledem k tomu, že platí
(7.28) zamítáme na hladině významnosti α = 0,05 nulovou hypotézu o shodě rozptylů měření hladiny tyroxinu v séru u dětí s mírnými symptomy a dětí s výraznými symptomy. Obě skupiny dětí se tedy statisticky významně liší ve variabilitě hladin tyroxinu v séru.
