Test o rozdílu středních hodnot dvou nezávislých výběrů při stejných rozptylech

Základním testem pro srovnávání středních hodnot dvou nezávislých výběrů je v biostatistice t-test pro dva výběry, který testuje, zda náhodné výběry pochází z rozdělení se středními hodnotami, jejichž rozdíl je daná konstanta c. Umožňuje nám tak posoudit, zda se hodnoty náhodné veličiny v jedné populaci statisticky významně liší od hodnot této náhodné veličiny v populaci druhé. Jedná se o parametrický test, jehož hlavním předpokladem je normalita rozdělení pravděpodobnosti obou náhodných výběrů. Máme-li realizaci prvního náhodného výběru o rozsahu n₁: x₁, x₂, …, x_n1, a na ní nezávislou realizaci druhého náhodného výběru o rozsahu n₂: y₁, y₂, …, y_n2, předpokládáme, že jak realizace x_i, tak realizace y_j pocházejí z normálního rozdělení, tedy že platí X_i ~ N(μ₁,σ²), i = 1, …, n₁, a Y_j ~ N(μ₂,σ²), j = 1, …, n₂. Nulová hypotéza, předpokládající rozdíl mezi středními hodnotami roven c (nejčastěji volíme c = 0), a příslušné alternativní hypotézy (oboustranná a jednostranné) mají tvar

(7.18)

Je důležité si uvědomit, že jsme opět v situaci, kdy neznáme skutečnou hodnotu parametru σ², pouze předpokládáme, že je stejná pro oba výběry. Tento neznámý parametr odhadujeme pomocí váženého průměru odhadů rozptylu (výběrových rozptylů) v jednotlivých skupinách,  a :

(7.19)

Z vlastností normálního rozdělení pravděpodobnosti plyne, že rozdíl průměrů normálních náhodných veličin X a Y je také normální náhodná veličina. Platí tedy

(7.20)

Vzhledem k neznámému parametru σ² nelze použít pro testování statistiku s normálním rozdělením pravděpodobnosti, proto obdobně jako v případě t-testu pro jeden výběr i zde hraje roli testové statistiky statistika T se Studentovým t rozdělením (s n₁ + n₂ – 2 stupni volnosti). Pro dva výběry je statistika T definována jako

(7.21)

Nulovou hypotézu opět zamítáme na hladině významnosti α ve chvíli, kdy realizace statistiky T překročí určitou hranici, kterou je kvantil Studentova rozdělení t(n₁ + n₂ – 2) příslušný hladině α a zvolené alternativě. Souhrn pravidel pro zamítnutí nulové hypotézy platných pro t-test pro dva výběry dle zvolené alternativy je uveden v tabulce 7.5. Kromě pravidel pro rozhodnutí o platnosti H₀ je třeba mít na paměti, že použití t-testu pro dva výběry má dva velmi silné předpoklady, kterým bychom měli před výpočtem vždy věnovat adekvátní pozornost. Těmito předpoklady jsou

1. Normalita pozorovaných hodnot, a to v rámci obou náhodných výběrů. Předpoklad normality musíme předem otestovat adekvátním testem nebo alespoň graficky ověřit pomocí dostupných vizualizačních nástrojů (histogram, krabicový graf).
2. Homogenní (stejný) rozptyl náhodné veličiny, opět v rámci obou srovnávaných výběrů. Předpoklad homogenity rozptylu lze stejně jako normalitu testovat příslušným statistickým testem (tomuto tématu je věnována část o tzv. F-testu: Test o shodnosti (homogenitě) rozptylů dvou nezávislých výběrů), možné je i grafické ověření pomocí výše zmíněných nástrojů (histogram, krabicový graf).

Tab. 7.5: Pravidla pro zamítnutí H₀ pro t-test pro dva výběry dle zvolené alternativy.

Alternativa		→ Zamítáme H0, když
Alternativa		→ Zamítáme H0, když
Alternativa		→ Zamítáme H0, když

 

Příklad 7.3. Uvažujme léčbu pacientů se špatně kontrolovanou hypertenzí, pro kterou je dostupná léčba tzv. ACE inhibitory (ACE-I) a antagonisty pro angiotensin II receptor (AIIA). Účinnost léčby ACE-I u pacientů se špatně kontrolovanou hypertenzí reprezentujeme náhodnou veličinou X, zatímco účinnost léčby AIIA u těchto pacientů popíšeme náhodnou veličinou Y. Nulová hypotéza pak vyjadřuje stejný účinek obou léků (ve smyslu střední hodnoty) na snížení diastolického tlaku (TKd) těchto pacientů měřený v milimetrech rtuti po šesti měsících od zahájení léčby. Tedy

(7.22)

U pacientů léčených ACE-I (skupina 1), respektive AIIA (skupina 2), byly pozorovány následující výběrové charakteristiky:

(7.23)

Dále byl na základě hodnot s₁ a s₂ vypočten vážený odhad parametru σ, . Víme, že za platnosti H₀ platí , což znamená, že můžeme pro testování použít statistiku T definovanou v (7.24). Po dosazení získáme

(7.24)

Absolutní hodnotu výsledné realizace testové statistiky srovnáme s kvantilem Studentova t rozdělení s 3811 stupni volnosti (vzhledem k platnosti centrální limitní věty zde již můžeme použít kvantil rozdělení N(0,1)). Absolutní hodnota testové statistiky je menší než hodnota kvantilu z_1-α/2 = z_0,975 = 1,96 a tedy nulovou hypotézu nezamítáme. Závěrem tedy lze říci, že na hladině významnosti α = 0,05 nelze prokázat rozdíl mezi léčbou ACE-I a AIIA vzhledem ke snížení diastolického tlaku u pacientů se špatně kontrolovanou hypertenzí.