Interval spolehlivosti pro parametr π binomického rozdělení
Při konstrukci intervalu spolehlivosti pro parametr π vycházíme (dle centrální limitní věty) z předpokladu, že p má normální rozdělení pravděpodobnosti s parametry π a π(1 – π)/n, tedy že platí p ~ N(π, π(1 – π)/n). Dle vztahu (9.4) pak platí, že
|
|
(9.5) |
což lze s pomocí jednoduchých úprav přepsat do tvaru
|
|
(9.6) |
Při konstrukci intervalu spolehlivosti samozřejmě neznáme přesnou hodnotu π, a proto je nutné ji v odhadu rozptylu náhodné veličiny, výrazu π(1 – π)/n, nahradit vhodným odhadem. Logicky se nabízí nahrazení bodovým odhadem, tedy hodnotou p. Při splnění podmínek pro aproximaci normálním rozdělením má 100(1 – α)% interval spolehlivosti pro parametr π tvar:
|
|
(9.7) |
Příklad 9.1. Chceme pomocí 95% intervalu spolehlivosti odhadnout podíl studentů matematické biologie, kteří mají modré oči. Máme k dispozici údaje o n = 60 studentech, 17 z nich má modré oči, realizace binomické náhodné veličiny X má tedy hodnotu x = 17. Bodový odhad parametru π pak má hodnotu p = 17/60 = 0,283. Pro sestrojení intervalu spolehlivosti můžeme použít aproximaci normálním rozdělením, neboť np(1 – p) = 12,2, což je číslo větší než 10. Abychom mohli dosadit do výrazu pro interval spolehlivosti, je třeba spočítat standardní chybu odhadu p, tedy vypočítat
(9.8) S použitím 97,5% kvantilu standardizovaného normálního rozdělení, z1–α/2 = 1,96, pak získáme dosazením do výrazu (9.7) 95% interval spolehlivosti pro podíl studentů matematické biologie s modrýma očima ve tvaru
(9.9) Na základě našeho výběrového souboru 60 studentů tedy můžeme říci, že s pravděpodobností alespoň 95% leží podíl modrookých studentů matematické biologie v rozmezí 0,169 a 0,397.
