Testování nezávislosti (Pearsonův chí-kvadrát test)

Pearsonův chí-kvadrát test je základním a nejpoužívanějším testem nezávislosti v kontingenční tabulce. Nulovou hypotézou je zde tvrzení, že náhodné veličiny X a Y jsou nezávislé, což znamená, že pravděpodobnost nastání určité varianty náhodné veličiny X neovlivňuje nastání určité varianty náhodné veličiny Y. Vyjádřeno pomocí pravděpodobností tedy hypotéza nezávislosti znamená, že

Test je založen na myšlence srovnání pozorovaných četností (ty jsou dány pozorováním, experimentem) a tzv. očekávaných četností (kalkulovaných za předpokladu platnosti H₀) jednotlivých kombinací náhodných veličin X a Y. Označme n_ij počet subjektů, u nichž nastala situace, že náhodná veličina X je rovna hodnotě i a náhodná veličina Y je rovna hodnotě j. Dále definujme tzv. marginální četnosti příslušné i-té variantě veličiny X, respektive j-té variantě veličiny Y, jako

(9.16)

Za platnosti nulové hypotézy lze očekávané četnosti jednotlivých kombinací, kdy X = i a zároveň Y = j, které budeme značit e_ij, vypočítat pomocí výrazu

(9.17)

Karl Pearson již v roce 1904 odvodil, že statistika

(9.18)

má za platnosti nulové hypotézy o nezávislosti chí-kvadrát rozdělení pravděpodobnosti s parametrem (r – 1)(c – 1), tedy že platí . Nulovou hypotézu o nezávislosti X a Y zamítáme na hladině významnosti α, když hodnota testové statistiky X² přesáhne příslušný 100(1 – α)% kvantil rozdělení χ², tedy když

(9.19)

Předpoklady Pearsonova chí-kvadrát testu, které musíme před výpočtem vždy ověřit, jsou následující:

• Jednotlivá pozorování sumarizovaná v kontingenční tabulce jsou nezávislá, tedy každý prvek výběrového souboru je zahrnut pouze v jedné buňce kontingenční tabulky.
• Alespoň 80 % buněk kontingenční tabulky má očekávanou četnost (e_ij) větší než 5 a všechny buňky tabulky (tedy 100 % buněk) mají očekávanou četnost (e_ij) větší než 2. Tento předpoklad souvisí s asymptotickými vlastnostmi statistiky X² a je to tedy stejně důležitý předpoklad jako např. předpoklad normality pozorovaných hodnot v případě skupiny t-testů.

Příklad 9.3. Při hodnocení souboru pacientů se zhoubným nádorem kůže (melanomem) chceme zjistit, zda spolu souvisí lokalizace onemocnění (část těla, na které se melanom nachází) a období, kdy bylo onemocnění pacientovi diagnostikováno. Statisticky řečeno, chceme na hladině významnosti α = 0,05 testovat nezávislost náhodné veličiny X (období diagnózy s hodnotami 1994–2000, 2001–2005 a 2006–2009) a náhodné veličiny Y (lokalizace s hodnotami horní končetina, dolní končetina, trup a hlava a krk). Tabulka 9.2 sumarizuje pozorované četnosti jednotlivých kombinací náhodných veličin X a Y, v tabulce 9.3 jsou pak uvedeny příslušné očekávané četnosti vypočtené pomocí (9.17) na základě marginálních četností z tabulky 9.2. Je vidět, že všechny očekávané četnosti jsou vyšší než 5, což znamená, že pro ověření hypotézy o nezávislosti můžeme použít Pearsonův chí-kvadrát test.

Tab. 9.2: Pozorované četnosti jednotlivých kombinací náhodných veličin X a Y v příkladu 9.3.

Období = veličina X	Lokalizace = veličina Y
	Horní končetina Y = 1	Dolní končetina Y = 2	Trup Y = 3	Hlava a krk Y = 4	Celkem
1994-2000 X = 1	50 = n11	103 = n12	116 = n13	7 = n14	276 = n1.
2001-2005 X = 2	106 = n21	157 = n22	310 = n23	54 = n24	627 = n2.
2006-2009 X = 3	115 = n31	142 = n32	316 = n33	52 = n34	625 = n3.
Celkem	271 = n.1	402 = n.2	742 = n.3	113 = n.4	1528 = n

Tab. 9.3: Očekávané četnosti jednotlivých kombinací náhodných veličin X a Y v příkladu 9.3.

Pro výpočet testové statistiky X² musíme dosadit hodnoty z tabulek 9.2 a 9.3 do vztahu (9.18), dosazení a vyhodnocení jsou následující:

Výslednou hodnotu statistiky X² srovnáme s kritickou hodnotou rozdělení chí-kvadrát s parametrem (r – 1)(c – 1) = (3 – 1)(4 – 1) = 6, která přísluší hladině významnosti α = 0,05. Tou je kvantil . Vidíme, že realizace testové statistiky, číslo 30,41, překročila kritickou hodnotu, a tudíž můžeme zamítnout nulovou hypotézu o nezávislosti lokalizace onemocnění a období diagnózy. Můžeme říci, že se s obdobím částečně mění i lokalizace kožních nádorů. Tento závěr není úplně překvapivý, neboť kromě jiného může souviset i s rozvojem a oblibou solárií.