Test o střední hodnotě při neznámém rozptylu (t-test pro jeden výběr)

Cíl -testu pro jeden výběr je stejný jako u -testu, tedy také chceme testovat hypotézu, zda data náhodného výběru pochází z rozdělení se stejnou střední hodnotou, jako je předpokládaná konstanta . Stejný je i předpoklad, že data pochází z normálního rozdělení, tedy že platí . Rozdíl mezi oběma testy je v tom, že u -testu pro jeden výběr nepředpokládáme znalost parametru , což znamená, že pro testování nemůžeme jednoduše použít výše uvedenou statistiku . Abychom se zbavili nutnosti specifikovat parametr , je konstruována (odvození jde mimo rámec tohoto textu) statistika :

(3)

Statistika již neobsahuje neznámý parametr , který je nahrazen jeho výběrovým odhadem ve formě výběrové směrodatné odchylky, . Lze ukázat, že statistika  má Studentovo rozdělení pravděpodobnosti s stupni volnosti, tedy . Pravidla pro zamítnutí nulové hypotézy na základě výsledné hodnoty statistiky (dle zvolené alternativy a hladiny významnosti testu) jsou pro -test pro jeden výběr obdobná jako pro -test pro jeden výběr pouze s tím rozdílem, že jako kritické hodnoty používáme příslušné kvantily Studentova rozdělení s parametrem . Pravidla pro zamítnutí nulové hypotézy platná pro -test pro jeden výběr dle zvolené alternativy jsou uvedena v tabulce 2.

Tabulka 2: Pravidla pro zamítnutí pro -test pro jeden výběr dle zvolené alternativy.

Alternativa		→ Zamítáme , když
Alternativa		→ Zamítáme , když
Alternativa		→ Zamítáme , když

Příklad 1. Pomocí -testu pro jeden výběr chceme srovnat průměrný denní energetický příjem skupiny 11 žen ve věku 22 – 30 let s doporučenou populační hodnotou, kterou je 7725 kJ (hodnoty převzaty z [1]). Pozorovaný průměrný energetický příjem skupiny 11 žen byl 6753,6 kJ se směrodatnou odchylkou = 1142,1 kJ. Předpokládejme, že nemáme představu o stravovacích návycích mladých žen, proto zvolíme oboustrannou alternativu. Nulová hypotéza, , a jí příslušná oboustranná alternativa, , pak mají tvar

K ověření nulové hypotézy použijeme testovou statistiku , která je dána vztahem (4). Výpočet realizace testové statistiky tedy znamená pouze dosazení výběrových charakteristik a je následující:

.

(5)

Vzhledem k tomu, že alternativní hypotéza je oboustrannou alternativou, pro rozhodnutí o platnosti je třeba srovnat absolutní hodnotu realizace testové statistiky, tedy číslo 2,821, se procentním kvantilem  rozdělení s  (tedy 10) stupni volnosti, což je hodnota 2,228. V souladu s tabulkou 6.2 platí, že

,

(6)

a tedy zamítáme na hladině významnosti = 0,05. Jinými slovy, na hladině významnosti  = 0,05 můžeme říci, že sledovaná skupina žen měla statisticky významně odlišný (nižší) denní energetický příjem, než je doporučená hodnota 7725 kJ.