Standardizované normální rozdělení

Mezi výhodné vlastnosti normálního rozdělení patří zachování normality při změně měřítka osy, na které měříme jednotky náhodné veličiny . Jinými slovy, pokud veličinu s rozdělením transformujeme podle vztahu , pak platí, že náhodná veličina má rozdělení pravděpodobnosti . S využitím této vlastnosti jsme vždy schopni transformovat náhodnou veličinu s rozdělením na náhodnou veličinu s rozdělením , tedy s normálním rozdělením s nulovou střední hodnotou a jednotkovým rozptylem. Platí

Toto rozdělení má ve statistice výsadní postavení a označuje se jako standardizované normální rozdělení (standard normal distribution). Výhoda je, že všechny hodnoty distribuční i kvantilové funkce jsou tabelovány a obsaženy v dostupných softwarech (kvantily standardizovaného normálního rozdělení se označují jako ). Můžeme tak jednoduše kvantifikovat pravděpodobnost, s jakou se náhodná veličina Z se standardizovaným normálním rozdělením realizuje nad určitou hodnotou z (případně pod ní, nebo mezi dvěma danými hodnotami). Obecně lze plochu pod hustotou rozdělit pomocí kvantilu na dvě části, např. pomocí procentního kvantilu, označme ho , na část s plochou a na část s plochou (viz obrázek 3.2). Toto dělení samozřejmě odpovídá pravděpodobnosti, tedy náhodná veličina se realizuje číslem menším než s pravděpodobností a číslem větším než s pravděpodobností .

Transformace na standardizované normální rozdělení (tzv. -skore) má také přímé praktické využití, v medicíně se používá například při diagnostice osteoporózy, kdy je -skore počítáno pro výsledky denzitometrického vyšetření pacienta vzhledem k průměru a směrodatné odchylce referenční populace.

Příklad 2. Při populačním epidemiologickém průzkumu se zjistilo, že průměrný objem prostaty u mužů (veličina ) je 52,73 ml se směrodatnou odchylkou rovnou 13,12 ml. Předpokládáme, že objem prostaty se řídí normálním rozdělením, za hodnoty parametrů a bereme populační odhady. Zajímá nás, jaká je pravděpodobnost, že objem prostaty u muže bude větší než 80 ml. Abychom zjistili, jaká pravděpodobnost přísluší hodnotě 80 ml jako kvantilu rozdělení náhodné veličiny , provedeme standardizaci a zjistíme příslušnou pravděpodobnost na základě kvantilu standardizované normální veličiny . Výpočet hodnoty veličiny je následující:

Víme, že hodnota 2,08 představuje procentní kvantil, , standardizované normální veličiny , k ní odpovídající hladinu zjistíme z tabulek hodnot kvantilové funkce. Lze zjistit, že pravděpodobnost výskytu hodnoty větší než 2,08 je pro standardizovanou normální veličinu rovna 0,0188, což tedy znamená, že pravděpodobnost výskytu prostaty s objemem větším než 80 ml je rovna přibližně 2%.

Obr. 3.3: Plochy pod hustotou pravděpodobnosti příslušné kvantilu .

Oblast, kde se náhodná veličina se standardizovaným normálním rozdělením realizuje s pravděpodobností lze vyjádřit pomocí její distribuční funkce (ta vyjadřuje pravděpodobnost, že číselná realizace náhodné veličiny nepřekročí na reálné ose danou hodnotu) a příslušných kvantilů. Jinými slovy, oblast realizace náhodné veličiny s rozdělením odpovídající pravděpodobnosti lze vymezit pomocí jejích kvantilů.

Klíčové kvantily standardizovaného normálního rozdělení uvádí obrázek 3.4, ze kterého vyplývá, že náhodná veličina s rozdělením se s pravděpodobností 90% realizuje mezi hodnotou -1,64 a hodnotou 1,64, s pravděpodobností 95% mezi hodnotami -1,96 a 1,96 a s pravděpodobností 99% nepřekročí v absolutní hodnotě číslo 2,58.

Obr. 3.4: Klíčové kvantily standardizovaného normálního rozdělení pravděpodobnosti.

Vymezení oblasti, kde se náhodná veličina realizuje s určitou pravděpodobností je platné pro všechna rozdělení pravděpodobnosti, nejen pro standardizované normální (i když u rozdělení se vzhledem k jeho symetrii významné kvantily dobře pamatují). Tento fakt je velmi důležitý zejména v testování hypotéz, kde na základě toho, v jaké oblasti se realizuje hodnota testové statistiky (náhodné veličiny s daným rozdělením pravděpodobnosti), rozhodujeme o platnosti nebo neplatnosti sledované hypotézy.