Charakteristiky náhodných veličin

Výše definovaný popis pravděpodobnostního chování náhodné veličiny pomocí distribuční funkce, hustoty a pravděpodobnostní funkce je sice úplný, ale trochu složitý a velmi nepraktický. Často se tak pro popis jednotlivých rozdělení pravděpodobnosti používají číselné charakteristiky, které shrnují vlastnosti rozdělení pravděpodobnosti do jednoho čísla, které je snadno interpretovatelné a lze s ním pracovat jednodušeji než s funkčním vyjádřením. Dvě nejznámější a nejpoužívanější charakteristiky, které odráží vlastnosti rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny, jsou střední hodnota (mean value) a rozptyl (dispersion, variance). Střední hodnota náhodné veličiny , značíme ji , je mírou polohy a popisuje tak oblast reálné osy, kde má náhodná veličina „tendenci“ se realizovat, zatímco rozptyl náhodné veličiny , značíme ho , je mírou variability, který ukazuje, jak moc jednotlivé možné hodnoty náhodné veličiny kolísají kolem její střední hodnoty.

Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny představují teoretický ekvivalent (ve smyslu pravděpodobnosti) popisných ukazatelů, které nás zajímaly u popisné analýzy pozorovaných dat, tedy střední hodnota, , je teoretickým ekvivalentem průměru a rozptyl, , je teoretickým ekvivalentem výběrového rozptylu. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny představují klíčové parametry jejího rozdělení pravděpodobnosti a při statistickém zpracování dat jsou většinou hlavním předmětem našeho zájmu. U spojitých náhodných veličin mají výše definované charakteristiky většinou jasnou interpretaci, v případě diskrétních náhodných veličin však mohou být i lehce zavádějící, neboť diskrétní náhodná veličina vůbec nemusí nabývat své střední hodnoty. Jako příklad lze uvést náhodnou veličinu , která nabývá hodnot −1 a 1, obou s pravděpodobností 0,5. Je zřejmé, že její střední hodnota je 0, což je ale hodnota, které tato náhodná veličina nikdy nemůže nabývat.