E-learningová učebnice

Matematická biologie

Slovník | Vyhledávání | Mapa webu

Analýza a modelování dynamických biologických datSignály a lineární systémy Systémové struktury 2 Sériové (kaskádní) zapojení

Lineární a adaptivní zpracování dat | Lineární a adaptivní zpracování dat: řešené úlohy v MATLABu | Matematické modely v biologii | Maticové populační modely | Signály a lineární systémy |

Kapitola počáteční |

Výstupy z výukové jednotky | 1 Začínáme – několik ilustračních příkladů na úvod | 2 Nejdůležitější pojmy |

2.1 Signál, veličina, funkce, časová řada | 2.2 Systém |

Modely veličin spojitých v čase I |

Výstupy z výukové jednotky | 1 Základní typy matematických modelů veličin spojitých v čase |

1.1 Periodické funkce |

1.1.1 Harmonická funkce |

1. 2 Neperiodické funkce |

1.2.1 Deterministické jednorázové funkce | 1.2.2 Náhodné funkce |

2 Základní unární operace s funkcemi se spojitým časem |

Modely veličin spojitých v čase II |

Výstupy z výukové jednotky | 1 Konvoluce | 2 Kauzalita | 3 Korelace |

3.1 Korelační koeficient | 3.2 Korelační funkce |

Modely veličin spojitých v čase III |

Výstupy z výukové jednotky | 1 Rozklad spojitých periodických funkcí na dílčí harmonické složky |

1.1 Proč? | 1.2 Fourierova řada |

2 Rozklad spojitých neperiodických funkcí na dílčí harmonické složky – Fourierova transformace |

2.1 Definice | 2.2 Vlastnosti Fourierovy transformace | 2.3 Několik řešených příkladů | 2.4 A na konec ještě pár příkladů k procvičení |

Časové řady I |

Výstupy z výukové jednotky | 1 Vzorkování |

1.1 Seznamme se | 1.2 Vzorkovací teorém |

2 Základní typy matematických modelů veličin diskrétních v čase |

2.1 Konvence na začátek | 2.2 Periodické posloupnosti | 2.3 Jednorázové posloupnosti |

3 Základní operace s matematickými modely veličin diskrétních v čase |

3.1 Úvodní poznámky | 3.2 Diskrétní konvoluce | 3.3 Diskrétní korelační posloupnost |

Časové řady II |

Výstupy z výukové jednotky | 1 Diskrétní Fourierova řada | 2 Fourierova transformace s diskrétním časem (DTFT) | 3 Diskrétní Fourierova transformace (DFT) | 4 Rychlá Fourierova transformace (FFT) | 5 Rekonstrukce spojité funkce z navzorkované posloupnosti |

Matematický popis systémů pracujících ve spojitém čase I |

Výstupy z výukové jednotky | 1 Linearita | 2 Vnější (vstupní/výstupní) popis lineárních systémů |

2.1 Lineární diferenciální rovnice |

3 Laplacova transformace |

3.1 Zavedení Laplacovy transformace | 3.2 Důležité vlastnosti Laplacovy transformace |

4 Vnější (vstupní/výstupní) popis - pokračování |

4.1 Obrazová přenosová funkce | 4.2 Rozložení nulových bodů a pólů operátorové přenosové funkce | 4.3 Frekvenční přenosová funkce a frekvenční charakteristiky | 4.4 Impulzní charakteristika | 4.5 Přechodová charakteristika | 4.6 Vzájemné vztahy mezi různými formami vnějšího popisu lineárního systému |

Matematický popis systémů pracujících ve spojitém čase II |

Výstupy z výukové jednotky | 1 Vnější popis nelineárních systémů | 2 Vnitřní (stavový) popis |

2.1 Lineární případ | 2.2 Nelineární případ |

3 Chování systémů |

3.1 Základní jevy v systémech |

4 Stabilita |

4.1 Základní pojmy | 4.2 Zkoumání stability | 4.3 Zobecněná stabilita dle Ljapunova |

5 Kauzalita |

Matematický popis lineárních systémů pracujících v diskrétním čase |

Výstupy z výukové jednotky | 1 Vnější (vstupní/výstupní) popis |

1.1 Diferenční rovnice |

2 Transformace Z |

2.1 Zavedení transformace Z | 2.2 Důležité vlastnosti transformace Z |

3 Vnější (vstupní/výstupní) popis - pokračování |

3.1 Obrazová přenosová funkce | 3.2 Rozložení nulových bodů a pólů obrazové přenosové funkce | 3.3 Frekvenční přenosová funkce a frekvenční charakteristiky | 3.4 Časové charakteristiky |

4. Vnitřní (stavový) popis | 5 Stabilita |

Systémové struktury |

Výstupy z výukové jednotky | 1 Základní formy spojování systémů | 2 Sériové (kaskádní) zapojení | 3 Paralelní zapojení | 4 Zpětnovazební zapojení |

4.3 Princip zpětnovazební regulace | 4.1 Popis přenosu zpětnovazebního systému | 4.2 Vlastnosti zpětnovazebního zapojení |

Komplexní čísla |

Výstupy z výukové jednotky | Základní typy popisu komplexních čísel | Matematické operace s komplexními čísly | Komplexní exponenciála |

Spojité deterministické modely I | Diskrétní deterministické modely | Úvod do matematického modelování | Vybrané kapitoly z matematického modelování |

2 Sériové (kaskádní) zapojení

Při hledání vztahu pro výslednou přenosovou funkci sériového (kaskádního) zapojení dvou dílčích lineárních systémů mezi přenosovými funkcemi dvou sériově (kaskádně) zapojených lineárních dílčích systémů s přenosovými funkcemi a (obr. Systémové struktury 1) vycházíme z platnosti vztahů

	(1)
	(2)
	(3)

Obr. 1. Sériové zapojení dvou lineárních systémů

Rozšířením vztahu pro a následující jednoduchou úpravou dostaneme

Zobecněním vztahu Systémové struktury (4) pro sériové zapojení dílčích systémů platí

Při výpočtu vztahu pro impulzní charakteristiku systému daného sériovým zapojením dvou dílčích soustav s impulsními charakteristikami a vyjdeme ze známého základního konvolučního vztahu mezi výstupem a vstupem systému a jeho impulzní charakteristikou

Ze sériového zapojení obou dílčích soustav také platí, že

Vzhledem k platnosti asociativního zákona pro konvoluci lze vztah Systémové struktury (7) přepsat do tvaru

případně s využitím komutativního zákona

Ze srovnání Systémové struktury (6) a Systémové struktury (9) je pro sériové zapojení dvou lineárních soustav s impulzními charakteristikami a

příp. pro zobecnění se sériovým zapojením soustav

což je výsledek, který bylo možné očekávat, pokud víme, že Laplacovým obrazem konvoluce je součin Laplacových obrazů originálních funkcí času a naopak.

Příklad 2.1. Určete obrazovou přenosovou funkci sériového zapojení dvou dílčích systémů s přenosovými funkcemi a

Řešení. Výsledná přenosová funkce sériového zapojení zadaných systémů je dána součinem dílčích přenosových funkcí. Platí proto

Příklad 2.2. Určete obrazovou přenosovou funkci sériového zapojení dvou identických dílčích diskrétních systémů

Řešení. Pro diskrétní systémy platí identické pravidlo pro určení přenosové funkce sériového zapojení jako pro systémy pracující ve spojitém čase. Proto výsledná přenosová funkce je

Příklad 2.3. Určete obrazovou přenosovou funkci sériového zapojení dvou identických dílčích diskrétních systémů prostřednictvím jejich impulzních charakteristik.

Řešení. Impulzní charakteristika dílčí soustavy je a výsledná impulzní charakteristika je dána konvolucí obou dílčích impulzních charakteristik. Je proto

Této impulzní charakteristice pak odpovídá obrazová přenosová funkce taková, jaká byla výsledkem řešení příkladu Systémové struktury 2.2.

vytvořil Institut biostatistiky a analýz Lékařské fakulty Masarykovy univerzity