Analýza a modelování dynamických biologických datSignály a lineární systémy Matematický popis lineárních systémů pracujících v diskrétním čase 3 Vnější (vstupní/výstupní) popis - pokračování 3.1 Obrazová přenosová funkce

Kapitola počáteční |

Výstupy z výukové jednotky | 1 Začínáme – několik ilustračních příkladů na úvod | 2 Nejdůležitější pojmy |

2.1 Signál, veličina, funkce, časová řada | 2.2 Systém |

Modely veličin spojitých v čase I |

Výstupy z výukové jednotky | 1 Základní typy matematických modelů veličin spojitých v čase |

1.1 Periodické funkce |

1.1.1 Harmonická funkce |

1. 2 Neperiodické funkce |

1.2.1 Deterministické jednorázové funkce | 1.2.2 Náhodné funkce |

2 Základní unární operace s funkcemi se spojitým časem |

Modely veličin spojitých v čase II |

Výstupy z výukové jednotky | 1 Konvoluce | 2 Kauzalita | 3 Korelace |

3.1 Korelační koeficient | 3.2 Korelační funkce |

Modely veličin spojitých v čase III |

Výstupy z výukové jednotky | 1 Rozklad spojitých periodických funkcí na dílčí harmonické složky |

1.1 Proč? | 1.2 Fourierova řada |

2 Rozklad spojitých neperiodických funkcí na dílčí harmonické složky – Fourierova transformace |

2.1 Definice | 2.2 Vlastnosti Fourierovy transformace | 2.3 Několik řešených příkladů | 2.4 A na konec ještě pár příkladů k procvičení |

Časové řady I |

Výstupy z výukové jednotky | 1 Vzorkování |

1.1 Seznamme se | 1.2 Vzorkovací teorém |

2 Základní typy matematických modelů veličin diskrétních v čase |

2.1 Konvence na začátek | 2.2 Periodické posloupnosti | 2.3 Jednorázové posloupnosti |

3 Základní operace s matematickými modely veličin diskrétních v čase |

3.1 Úvodní poznámky | 3.2 Diskrétní konvoluce | 3.3 Diskrétní korelační posloupnost |

Časové řady II |

Matematický popis systémů pracujících ve spojitém čase I |

Výstupy z výukové jednotky | 1 Linearita | 2 Vnější (vstupní/výstupní) popis lineárních systémů |

2.1 Lineární diferenciální rovnice |

3 Laplacova transformace |

3.1 Zavedení Laplacovy transformace | 3.2 Důležité vlastnosti Laplacovy transformace |

4 Vnější (vstupní/výstupní) popis - pokračování |

4.1 Obrazová přenosová funkce | 4.2 Rozložení nulových bodů a pólů operátorové přenosové funkce | 4.3 Frekvenční přenosová funkce a frekvenční charakteristiky | 4.4 Impulzní charakteristika | 4.5 Přechodová charakteristika | 4.6 Vzájemné vztahy mezi různými formami vnějšího popisu lineárního systému |

Matematický popis systémů pracujících ve spojitém čase II |

Výstupy z výukové jednotky | 1 Vnější popis nelineárních systémů | 2 Vnitřní (stavový) popis |

2.1 Lineární případ | 2.2 Nelineární případ |

3 Chování systémů |

3.1 Základní jevy v systémech |

4 Stabilita |

4.1 Základní pojmy | 4.2 Zkoumání stability | 4.3 Zobecněná stabilita dle Ljapunova |

5 Kauzalita |

Matematický popis lineárních systémů pracujících v diskrétním čase |

Výstupy z výukové jednotky | 1 Vnější (vstupní/výstupní) popis |

1.1 Diferenční rovnice |

2 Transformace Z |

2.1 Zavedení transformace Z | 2.2 Důležité vlastnosti transformace Z |

3 Vnější (vstupní/výstupní) popis - pokračování |

3.1 Obrazová přenosová funkce | 3.2 Rozložení nulových bodů a pólů obrazové přenosové funkce | 3.3 Frekvenční přenosová funkce a frekvenční charakteristiky | 3.4 Časové charakteristiky |

4. Vnitřní (stavový) popis | 5 Stabilita |

Systémové struktury |

4.3 Princip zpětnovazební regulace | 4.1 Popis přenosu zpětnovazebního systému | 4.2 Vlastnosti zpětnovazebního zapojení |

Komplexní čísla |

Výstupy z výukové jednotky | Základní typy popisu komplexních čísel | Matematické operace s komplexními čísly | Komplexní exponenciála |

Spojité deterministické modely I | Diskrétní deterministické modely | Úvod do matematického modelování | Vybrané kapitoly z matematického modelování |

3.1 Obrazová přenosová funkce

Opět ekvivalentně případu se spojitým časem pro diferenční rovnici popisující systém lze vytvořit její obraz Z podobně jak ve spojitém případě za předpokladu nulových počátečních podmínek nejjednodušeji aplikací vztahu Matematický popis lineárních systémů pracujících v diskrétním čase (11).

Rozepíšeme-li vztah Matematický popis lineárních systémů pracujících v diskrétním čase (1). do tvaru

(19)

pak s použitím Matematický popis lineárních systémů pracujících v diskrétním čase (11) a za nulových počátečních podmínek dostáváme

(20)

a po několika málo matematických operacích konečně dostáváme obrazovou přenosovou funkci

(21)

nebo

(22)

pokud je a

(23)

když je .

Každá z obou variant zápisu má své kouzlo a výhody. Zatímco zápis se zápornými mocninami z podle Matematický popis lineárních systémů pracujících v diskrétním čase (21) naznačuje úzký vztah mezi přenosovou funkcí a diferenční rovnicí, varianta s kladnými mocninami z podle Matematický popis lineárních systémů pracujících v diskrétním čase (22), příp. Matematický popis lineárních systémů pracujících v diskrétním čase (23) zase vede k snadnějšímu výpočtu nulových bodů a pólů a tím i k jednodušším úvahám o stabilitě systému.

Samozřejmě je možné, vycházíme-li primárně z frekvenčních vlastností daného systému, vyjádřit obrazovou přenosovou funkci i ve tvaru

(24)

což jest jen formální úprava, při které by ale neměly mást indexy váhových koeficientů

Příklad 3.1. Určete obrazovou přenosovou funkci systému definovanému diferenční rovnicí

Řešení. Všechny členy výstupní posloupnosti v diferenční rovnici převedeme na levou stranu, tj.

a pomocí vztahu Matematický popis lineárních systémů pracujících v diskrétním čase (11) a za nulových počátečních podmínek dostáváme

Z toho už je snadno

Vynásobením čitatele i jmenovatele dostaneme

Inverzním postupem lze z operátorové přenosové funkce snadno a rychle určit diferenční rovnici systému.

Příklad 3.2. Určete diferenční rovnicí systému ze zadané operátorové přenosové funkce

Řešení. Čitatele i jmenovatele zadané přenosové funkce vynásobme a dostaneme

a z toho máme

S využitím Matematický popis lineárních systémů pracujících v diskrétním čase (11) a za nulových počátečních podmínek dostáváme diferenční rovnici

Po přepsání do standardního pořádku je konečně

vytvořil Institut biostatistiky a analýz Lékařské fakulty Masarykovy univerzity