Slovník | Vyhledávání | Mapa webu
 
Analýza a modelování dynamických biologických datSignály a lineární systémy Matematický popis lineárních systémů pracujících v diskrétním čase 2 Transformace Z 2.1 Zavedení transformace Z

Logo Matematická biologie

2.1 Zavedení transformace Z

Transformace Z je obdobou Laplacovy transformace pro případ diskrétních posloupností. Podobně jako Laplacova transformace převádí integrodiferenciální rovnice na rovnice algebraické, transformace Z tak činí s rovnicemi diferenčními a tak zjednodušuje případnou analýzu systémů s diskrétním časem. Vlastnosti transformace Z jsou podobné vlastnostem transformace Laplacovy, ale existují i některé významné rozdíly.

Definice 2.1. Posloupnost má dvoustrannou (bilaterální) transformaci Z pokud existuje řada

(4)

kde  je obecně komplexní proměnná zpravidla vyjadřovaná v polárním tvaru jako

(5a)

resp. chceme-li zachovat fyzikální význam exponentu, pak

(5b)

kde je modul komplexního čísla  a resp. (pro případ jednotkové vzorkovací periody) je jeho argument.

 

Podobně jako u Laplacovy transformace, při práci s kauzálními diskrétními systémy lze použít tzv. jednostrannou transformaci Z.

Definice 2.2. Posloupnost má jednostrannou transformaci Z pokud existuje řada

(6)

 

Zcela zřejmě jednostranná i dvoustranná transformace Z mají tytéž vlastnosti pouze když pro Formálně za jednostrannou transformaci Z posloupnosti může být považována dvoustranná transformace Z součinu posloupnosti s diskrétním jednotkovým skokem, tj.

(7)

Srovnáme-li definici Fourierovy transformace s diskrétním časem Fourierova transformace s diskrétním časem (DTFT) říkající, že

s definičním vztahem pro transformaci Z se substitucí resp.  pro což reprezentuje harmonickou jádrovou funkci s jednotkovou amplitudou, vidíme, že jsou oba vztahy ekvivalentní. Fourierova transformace s diskrétním časem tedy může být považována za specifický případ transformace Z, opět podobně jako v případě vztahu Fourierovy a Laplacovy transformace.

Příklad 2.3. Určete transformaci Z diskrétního jednotkového impulzu který je definován vztahem

Řešení. Jednostrannou transformaci Z jednotkového impulzu spočítáme podle definičního vztahu

 

Příklad 2.4. Určete transformaci Z v čase posunutého diskrétního jednotkového impulzu

Řešení. Pro posunutý diskrétní jednotkový impulz je

Pro jeho jednostrannou transformaci Z pak podle definičního vztahu je

Z vypočítaného vztahu po zobecnění plyne, že posun o i vzorků do kladných hodnot časové osy je reprezentován násobením obrazu Z dané posloupnosti

 

Příklad 2.5. Určete transformaci Z diskrétní jednotkové skokové posloupnosti

Řešení. Podle definičního vztahu jednostranné transformace Z je transformace Z jednotkového skoku dána nekonečným součtem Abychom získali kompaktnější výraz, vynásobme obě strany Tím dostaneme

Z toho pak je

Vzorce vypočítané v příkladech Matematický popis lineárních systémů pracujících v diskrétním čase 2.32.5 jsou spolu s dalšími, pro další důležité posloupnosti, uvedeny v tab. Matematický popis lineárních systémů pracujících v diskrétním čase 1.

oblast konvergence
pro  kromě když nebo když
Tab. 1. Slovník některých užitečných párů pro transformaci Z
 
vytvořil Institut biostatistiky a analýz Masarykovy univerzity | | zpětné odkazy | validní XHTML 1.0 Strict