Matematický popis systémů pracujících ve spojitém čase I
Základní pojmy, linearita, Laplacova transformace, formy vnějšího popisu lineární dynamické soustavy
Základní informace
Čtenář této lekce by se měl seznámit se základními způsoby popisu zejména lineárních dynamických soustav. Nejdříve s popisem pomocí diferenciálních rovnic a pomocí přenosové funkce a jejích vlastností. Oba tyto způsoby spojuje Laplacova transformace, kterou bude třeba zavést, včetně jejích základních vlastností. Posléze se všemi dalšími variantami popisu lineárních systémů.
Pokud budeme umět vlastnosti a chování reálných systémů popsat, resp. namodelovat, pak na příklad dokážeme ovlivňovat vlastnosti naměřených experimentálních, v čase proměnných veličin. Na příklad dokážeme z nich odstranit nežádoucí složky (rušení), jejichž existence komplikuje zpracování dat. Dále, a to je obecný profit z matematických modelů, dokážeme-li definovat či popsat matematický model časové řady, pravda v tomto případě s omezením na lineární modely, dokážeme ledacos dalšího. Můžeme odhadovat (predikovat) průběh časové řady do budoucna i do minulosti, dokážeme doplnit hodnoty, které z jakéhokoliv důvodu v průběhu časové řady schází. Parametry modelu můžeme použít pro klasifikaci tvaru časové řady a s tím související klasifikaci (diagnózu) reálného objektu, který je zdrojem dané veličiny. Na základě frekvenčních vlastností lineárního modelu, tedy toho jak se chová vůči harmonickým průběhům různých frekvencí, můžeme usoudit, jaké cyklické procesy určují časový průběh dat a z toho dále usuzovat, jaké skutečné děje jsou příčinou tvaru analyzované časové veličiny.
Domluva na začátek
V celém následujícím textu budeme předpokládat neautonomní systém, tj. systém, který je ovlivňován (buzen) nějakou externí vstupní veličinou. Matematici by asi řekli nehomogenní systém, protože jeho chování může být popsáno pomocí nehomogenní diferenciální rovnice, tj. diferenciální rovnice s pravou stranou. Do jisté míry to může být komplikace, matematický popis a výpočet výstupního chování nebude záležet jen na vlastnostech systému samotného, nýbrž i na tom, jaký je způsob jeho vstupního ovlivnění. Na druhé straně, pokud se omezíme, jak jsme již několikrát předeslali, pouze na lineární soustavy, pak ta komplikace nebude zas až tak podstatná. Dokonce by se dalo říct, že v případě lineárních soustav, by to bez vstupních veličin byla skoro nuda.
