Slovník | Vyhledávání | Mapa webu
 
Analýza a modelování dynamických biologických datSignály a lineární systémy Modely veličin spojitých v čase III 1 Rozklad spojitých periodických funkcí na dílčí harmonické složky 1.1 Proč?

Logo Matematická biologie

1.1 Proč?

Pojďme vyjít z významu slova analýza, které původem řecké znamená obecněji jakýkoliv rozbor, konkrétněji pak metodu zkoumání složitějších skutečností a jevů rozkladem na jednodušší. Jejím cílem je identifikovat podstatné a nutné vlastnosti základních částí celku, poznat jejich podstatu a zákonitosti. V duchu této definice, rozkladem spojitých funkcí na dílčí harmonické složky, zatím bez ohledu na to, zda jsou periodické či nikoliv, i když zpravidla obecně ne s  jednoduchým průběhem, získáme představu o tom, z jakých dílčích harmonických průběhů se analyzovaná funkce skládá, jaké mají dílčí funkce parametry – amplitudu, frekvenci a počáteční fázi. Podle těchto parametrů pak můžeme zhodnotit, jak významně se jednotlivé harmonické složky podílejí na výsledném tvaru analyzované funkce. Můžeme i začít uvažovat o reálných příčinách výskytu těch kterých harmonických průběhů ve výsledné směsi a co z těchto příčin vyplývá.

Rozklad na součet dílčích harmonických funkcí není samozřejmě jediná možnost. Nabízí se i jiné varianty, např. polynomiální rozklad pomocí Taylorova, resp. Maclaurinova rozkladu funkce v okolí definovaného bodu. Samozřejmě za jiných okolností, jiných předpokladů a podmínek.

Obr. 1. Maclaurinův rozklad funkce sin(x) pro různý počet členů rozvoje

Proč tedy zrovna rozklad na harmonické funkce? Ty primární důvody byly spíše fyzikální. Již byla zmíněna vazba harmonické funkce s kruhovým pohybem, harmonickým průběhem lze popsat i malé výchylky kmitavého pohybu kyvadla či závaží na pružině, harmonický má i průběh střídavého napětí v elektrické síti. Jsou ovšem i matematická pozitiva, proč uvažovat právě o harmonickém průběhu. Příjemné je chování harmonické funkce při lineární transformaci nezávisle proměnné (času). Jinou zajímavou vlastností je, že součet harmonických funkcí s toutéž frekvencí je opět harmonická funkce s touto frekvencí. Derivací harmonické funkce je opět harmonická funkce, jen s fázovým posunem. Velice důležitou vlastností je i ortogonalita harmonických funkcí. Funkce sinus a kosinus o téže frekvenci jsou ortogonální, stejně jako harmonická funkce o určité frekvenci je ortogonální s toutéž harmonickou funkcí, ale s frekvencí, která je celočíselným násobkem té původní frekvence.

Na druhé straně, harmonická funkce nemá jen samá pozitiva. Její výpočetní pracnost není z nejmenších. Za současného stavu technologie je to kritérium ne až tak podstatné (pokud se výpočet neopakuje mnoho mnohonásobně). Nicméně v době méně technologicky pokročilé, tato slabina harmonických funkcí vedla k vývoji a použití výpočetně jednodušších (nejlépe binárních) funkcí, které si zachovaly kladné vlastnosti funkcí harmonických.

 
vytvořil Institut biostatistiky a analýz Masarykovy univerzity | | zpětné odkazy | validní XHTML 1.0 Strict