Slovník | Vyhledávání | Mapa webu
 
Analýza a modelování dynamických biologických datSignály a lineární systémy Modely veličin spojitých v čase III 2 Rozklad spojitých neperiodických funkcí na dílčí harmonické složky – Fourierova transformace 2.1 Definice

Logo Matematická biologie

2.1 Definice

Jak jsme uvedli v dřívějším textu, neperiodické funkce lze považovat za periodické s nekonečně dlouhou periodou. Protože kmitočet základní harmonické složky periodické funkce je

(14)

pak pro je

(15)

Graficky to představuje zhušťování spektrálních čar s prodlužující se periodou až do limitního případu, kdy se vzdálenost mezi spektrálními čarami blíží limitně nule. Pro neperiodickou funkci tedy budou spektrální čáry na sebe navazovat, z diskrétní reprezentace úhlové frekvence jednotlivých harmonických složek se stává veličina spojitá a definiční sumační vztah pro Fourierovu řadu (viz např. Modely veličin spojitých v čase III (7)) přechází na vztah integrační, kde koeficienty určíme na základě následující úvahy.

Ve vztahu Modely veličin spojitých v čase III (8), tj.

je a tedy pro limitní rozdíl dvou sousedních frekvencí je a Meze integrálu budou pro nekonečně dlouho trvající funkci a Pro budou rovněž amplitudy spojitého spektra jednorázového impulzu nekonečně malé. Vyjádřeme vztah Modely veličin spojitých v čase III (8) pro  v limitním tvaru a dostáváme

(16)

Potom se definiční vztah Fourierova rozkladu transformuje do podoby

(17)

kde vztah

(18)

pro výpočet funkce kterou nazýváme spektrální funkcí nebo spektrální hustotou funkce nazýváme Fourierovu transformaci. Lineární integrální Fourierova transformace převádí funkci z časové domény na funkci  v kmitočtové oblasti. Aby bylo možné Fourierovu transformaci spočítat, stačí, aby funkce byla absolutně integrovatelná na celém definičním intervalu1. Spektrální funkce už nevyjadřuje skutečné amplitudy jednotlivých harmonických složek původní funkce jako v případě rozkladu pomocí Fourierovy řady, nýbrž jen jejich poměrné zastoupení.

Vztah Modely veličin spojitých v čase III (16) definuje inverzní relaci, tj. způsob výpočtu časového průběhu funkce z jejího spektrálního vyjádření. Tento výpočet nazýváme inverzní (zpětnou) Fourierovou transformací.

 

 

 

 


1 Uvidíme záhy při výpočtu spektrální funkce jednotkového skoku, že tato dostatečná podmínka není zcela nutná a lze ji ještě jistým zobecněním zeslabit.

 
vytvořil Institut biostatistiky a analýz Masarykovy univerzity | | zpětné odkazy | validní XHTML 1.0 Strict