Analýza a modelování dynamických biologických datSignály a lineární systémy Modely veličin spojitých v čase III 2 Rozklad spojitých neperiodických funkcí na dílčí harmonické složky – Fourierova transformace 2.1 Definice

Kapitola počáteční |

Výstupy z výukové jednotky | 1 Začínáme – několik ilustračních příkladů na úvod | 2 Nejdůležitější pojmy |

2.1 Signál, veličina, funkce, časová řada | 2.2 Systém |

Modely veličin spojitých v čase I |

Výstupy z výukové jednotky | 1 Základní typy matematických modelů veličin spojitých v čase |

1.1 Periodické funkce |

1.1.1 Harmonická funkce |

1. 2 Neperiodické funkce |

1.2.1 Deterministické jednorázové funkce | 1.2.2 Náhodné funkce |

2 Základní unární operace s funkcemi se spojitým časem |

Modely veličin spojitých v čase II |

Výstupy z výukové jednotky | 1 Konvoluce | 2 Kauzalita | 3 Korelace |

3.1 Korelační koeficient | 3.2 Korelační funkce |

Modely veličin spojitých v čase III |

Výstupy z výukové jednotky | 1 Rozklad spojitých periodických funkcí na dílčí harmonické složky |

1.1 Proč? | 1.2 Fourierova řada |

2 Rozklad spojitých neperiodických funkcí na dílčí harmonické složky – Fourierova transformace |

2.1 Definice | 2.2 Vlastnosti Fourierovy transformace | 2.3 Několik řešených příkladů | 2.4 A na konec ještě pár příkladů k procvičení |

Časové řady I |

Výstupy z výukové jednotky | 1 Vzorkování |

1.1 Seznamme se | 1.2 Vzorkovací teorém |

2 Základní typy matematických modelů veličin diskrétních v čase |

2.1 Konvence na začátek | 2.2 Periodické posloupnosti | 2.3 Jednorázové posloupnosti |

3 Základní operace s matematickými modely veličin diskrétních v čase |

3.1 Úvodní poznámky | 3.2 Diskrétní konvoluce | 3.3 Diskrétní korelační posloupnost |

Časové řady II |

Matematický popis systémů pracujících ve spojitém čase I |

Výstupy z výukové jednotky | 1 Linearita | 2 Vnější (vstupní/výstupní) popis lineárních systémů |

2.1 Lineární diferenciální rovnice |

3 Laplacova transformace |

3.1 Zavedení Laplacovy transformace | 3.2 Důležité vlastnosti Laplacovy transformace |

4 Vnější (vstupní/výstupní) popis - pokračování |

4.1 Obrazová přenosová funkce | 4.2 Rozložení nulových bodů a pólů operátorové přenosové funkce | 4.3 Frekvenční přenosová funkce a frekvenční charakteristiky | 4.4 Impulzní charakteristika | 4.5 Přechodová charakteristika | 4.6 Vzájemné vztahy mezi různými formami vnějšího popisu lineárního systému |

Matematický popis systémů pracujících ve spojitém čase II |

Výstupy z výukové jednotky | 1 Vnější popis nelineárních systémů | 2 Vnitřní (stavový) popis |

2.1 Lineární případ | 2.2 Nelineární případ |

3 Chování systémů |

3.1 Základní jevy v systémech |

4 Stabilita |

4.1 Základní pojmy | 4.2 Zkoumání stability | 4.3 Zobecněná stabilita dle Ljapunova |

5 Kauzalita |

Matematický popis lineárních systémů pracujících v diskrétním čase |

Výstupy z výukové jednotky | 1 Vnější (vstupní/výstupní) popis |

1.1 Diferenční rovnice |

2 Transformace Z |

2.1 Zavedení transformace Z | 2.2 Důležité vlastnosti transformace Z |

3 Vnější (vstupní/výstupní) popis - pokračování |

3.1 Obrazová přenosová funkce | 3.2 Rozložení nulových bodů a pólů obrazové přenosové funkce | 3.3 Frekvenční přenosová funkce a frekvenční charakteristiky | 3.4 Časové charakteristiky |

4. Vnitřní (stavový) popis | 5 Stabilita |

Systémové struktury |

4.3 Princip zpětnovazební regulace | 4.1 Popis přenosu zpětnovazebního systému | 4.2 Vlastnosti zpětnovazebního zapojení |

Komplexní čísla |

Výstupy z výukové jednotky | Základní typy popisu komplexních čísel | Matematické operace s komplexními čísly | Komplexní exponenciála |

Spojité deterministické modely I | Diskrétní deterministické modely | Úvod do matematického modelování | Vybrané kapitoly z matematického modelování |

2.1 Definice

Jak jsme uvedli v dřívějším textu, neperiodické funkce lze považovat za periodické s nekonečně dlouhou periodou. Protože kmitočet základní harmonické složky periodické funkce je

(14)

pak pro je

(15)

Graficky to představuje zhušťování spektrálních čar s prodlužující se periodou až do limitního případu, kdy se vzdálenost mezi spektrálními čarami blíží limitně nule. Pro neperiodickou funkci tedy budou spektrální čáry na sebe navazovat, z diskrétní reprezentace úhlové frekvence jednotlivých harmonických složek se stává veličina spojitá a definiční sumační vztah pro Fourierovu řadu (viz např. Modely veličin spojitých v čase III (7)) přechází na vztah integrační, kde koeficienty určíme na základě následující úvahy.

Ve vztahu Modely veličin spojitých v čase III (8), tj.

je a tedy pro limitní rozdíl dvou sousedních frekvencí je a Meze integrálu budou pro nekonečně dlouho trvající funkci a Pro budou rovněž amplitudy spojitého spektra jednorázového impulzu nekonečně malé. Vyjádřeme vztah Modely veličin spojitých v čase III (8) pro v limitním tvaru a dostáváme

(16)

Potom se definiční vztah Fourierova rozkladu transformuje do podoby

(17)

kde vztah

(18)

pro výpočet funkce kterou nazýváme spektrální funkcí nebo spektrální hustotou funkce nazýváme Fourierovu transformaci. Lineární integrální Fourierova transformace převádí funkci z časové domény na funkci v kmitočtové oblasti. Aby bylo možné Fourierovu transformaci spočítat, stačí, aby funkce byla absolutně integrovatelná na celém definičním intervalu¹. Spektrální funkce už nevyjadřuje skutečné amplitudy jednotlivých harmonických složek původní funkce jako v případě rozkladu pomocí Fourierovy řady, nýbrž jen jejich poměrné zastoupení.

Vztah Modely veličin spojitých v čase III (16) definuje inverzní relaci, tj. způsob výpočtu časového průběhu funkce z jejího spektrálního vyjádření. Tento výpočet nazýváme inverzní (zpětnou) Fourierovou transformací.

¹ Uvidíme záhy při výpočtu spektrální funkce jednotkového skoku, že tato dostatečná podmínka není zcela nutná a lze ji ještě jistým zobecněním zeslabit.

vytvořil Institut biostatistiky a analýz Lékařské fakulty Masarykovy univerzity