1.1 Diferenční rovnice

Protože časové řady jsou matematické struktury v diskrétním, nikoliv spojitém čase, nelze určit jejich derivaci, nýbrž pouze diference. Výchozím způsobem popisu diskrétního systému proto nemůže být diferenciální rovnice, nýbrž rovnice diferenční, obecně pro lineární systém definovaná výrazem

(1)

resp. pro jednotkovou nebo normalizovanou vzorkovací periodu

(2)

kde a jsou reálné konstanty, příp. pro časově variantní lineární systémy to mohou být funkce času, tj. a Hodnota n určuje maximální zpoždění pro vzorky výstupní posloupnosti a současně řád systému, m určuje maximální zpoždění pro vzorky vstupní posloupnosti zahrnuté do výpočtu. Alternativním zápisem diferenční rovnice může být výraz pro výpočet -tého výstupního vzorku, který využívá hodnotu -tého vzorku vstupní posloupnosti a předchozí vzorky jak vstupní, tak výstupní posloupnosti až do zpoždění resp. Vztah má tvar

(3)

Z uvedeného rekurzivního vztahu je zřejmé, že když chceme počítat hodnotu výstupu pro musíme znát hodnoty vstupních vzorků od do a také hodnoty výstupních vzorků od do Požadavek na vstupní data definuje minimální hodnotu tj. Pokud se týká požadavku na výstupní data, pak ve chvíli, kdy výpočet začíná (tj. ) a hodnoty skutečných zpožděných výstupních vzorků nejsou známy, je potřeba je stanovit formou počátečních podmínek.

Příklad 1.1. Diferenční rovnice reprezentuje diskrétní, časově invariantní lineární rekurzivní¹ systém, přičemž koeficienty diferenční rovnice jsou, za předpokladu, že a

¹ Rekurze (lat. recurso - vrátit se , resp. recursus - návrat, zpětný postup). V matematice pojem rekurze používáme v případě definice objektu pomocí sebe sama. V uvedeném případě to znamená, že hodnotu výstupu počítáme, kromě jiných, i ze zpožděných hodnot výstupu. V oblasti diskrétních systémů a jejich realizačních schémat pojem rekurze často splývá s pojmem regrese.