Slovník | Vyhledávání | Mapa webu
 
Analýza a modelování dynamických biologických datSignály a lineární systémy Kapitola počáteční 2 Nejdůležitější pojmy 2.1 Signál, veličina, funkce, časová řada

Logo Matematická biologie

2.1 Signál, veličina, funkce, časová řada

Pokusme se nejdříve uvedené pojmy definovat.

První uvedený pojem je signál. Je to pojem zde poněkud zavádějící, protože je spojován spíše s technickými problémy přenosu a zpracování dat, jako jsou otázky televizního či rozhlasového vysílání a příjmu, komunikace pomocí mobilních i stacionárních telefonů, radarové techniky, satelitní navigace, apod. Přesto se pojem signál používá i v medicíně pro označení zpravidla, ale nejen elektrických veličin vytvářených lidským organismem a proto vypovídajících o stavu části organismu, signál aktivně či pasivně generujícího. Určitě známe a používáme pojem, např. elektrokardiogram (EKG) nebo elektrokardiografický signál, který vypovídá o charakteru šíření elektrického buzení srdečního svalu a tím zprostředkovaně i o jeho mechanických vlastnostech. Jiným takovým signálem může být, např. tzv. pletysmografický signál, který popisuje objemové změny určité části těla způsobené třeba průtokem krve nebo dýcháním. Nebo hodnoty koncentrace jednotlivých plynných složek ve vdechovaném či vydechovaném vzduchu při zátěžovém vyšetření.

Definice 2.1. Signál je jev fyzikální, chemické, biologické, ekonomické či jiné materiální povahy, nesoucí informaci1 o stavu systému, který jej generuje, a jeho dynamice.

Podle uvedené definice má signál dvě základní složky:

  • hmotný nosič - materiální jev, který tento děj vyjadřuje (elektrické napětí či proud, potištěný papír, žaludeční šťávy, u nichž měříme např. jejich kyselost, počet osob s určitým onemocněním, množství peněz na účtu, …);
  • nehmotnou informaci o zdrojovém systému.

Nicméně z hlediska analýzy vlastností zdrojového objektu, resp. systému, není materiální složka zas až tak důležitá. Zcela podstatná je ale nehmotná složka informační.

Abychom se oprostili od toho spíše technického výkladu pojmu signál, budeme se snažit v následujícím textu dominantně, příp. alespoň alternativně používat pojem veličina. Jak tomuto pojmu lze, při nejmenším z fyzikálního pohledu, rozumět, ona sama je tím materiálním jevem a její časová dynamika vypovídá o vlastnostech objektu, který ji generuje. Takže vlastně slouží jako synonymum pojmu signál, jen bez toho technického nádechu.

Máme-li vhodně pracovat s informací obsaženou v analyzované veličině/signálu, tzn. analyzovat, resp. syntetizovat, musíme dokázat veličinu/signál vhodně matematicky popsat, to znamená vytvořit její matematický model2.

Matematicky lze veličinu/signál obecně popsat pomocí funkce nezávislých proměnných z oboru určeného kartézským součinem dílčích definičních oborů jednotlivých proměnných V případě, že (hovoříme o jednorozměrných veličinách/signálech), bývá nezávisle proměnnou zpravidla čas. Matematický model je pak funkcí jedené proměnné. V případě, že bývají nezávisle proměnnými většinou prostorové souřadnice. Tehdy hovoříme o dvourozměrných signálech, někdy je označujeme jako 2D signály. Jsou jimi všechny obrazy (obr. Kapitola počáteční 6). Pokud je pak jsou nezávisle proměnné zpravidla nějakou kombinací času a prostorových souřadnic. Jsou-li tři proměnné prostorové, pak hovoříme o snímku trojdimenzionální scény. Filmový záznam je reprezentován časovou sekvencí 2D snímků, tedy se jedná o data se dvěma prostorovými proměnnými spolu s jednou časovou proměnnou.

Obr. 6. Dvourozměrný signál - RTG snímek paty

Obor proměnných ve které jsme schopni měřit hodnoty dané veličiny, označíme jako primární (originální) oblast popisu veličiny/signálu. Je-li potřeba (např. pro lepší názornost) transformovat signál z původní primární oblasti popisu na funkci nějaké jiné nezávislé veličiny, pak o výsledku transformace hovoříme jako o reprezentaci signálu v sekundární oblasti popisu. To je například při popisu spektrálních vlastností veličiny/signálu, což je výsledek transformace původních dat do tvaru, kdy jsou vlastnosti signálu vyjádřeny pomocí závislosti na frekvenci harmonických složek, z nichž se původní průběh skládá (obr. Kapitola počáteční 5).

Hodnoty veličin/signálů, které měříme na skutečných, reálně existujících systémech, jsou výhradně reálné. Takto naměřené hodnoty však mohou být během zpracování podrobeny různým operacím, jejichž výsledkem bývají funkce s hodnotami jak reálnými, tak i komplexními. Proto, i když případy, kdy funkce popisující analyzované veličiny nabývají komplexních hodnot, jsou v praxi nesrovnatelně méně časté, měly by být matematické funkce modelující zpracovávanou veličinu/signál obecně schopny vyjádřit i komplexní závislosti.

Komplexní veličina/signál se skládá ze dvou navzájem nezávislých složek - reálné a imaginární nebo modulové a fázové, je tedy speciálním příkladem vícesložkové veličiny resp. vícekanálového signálu, který se obecně skládá z K různých průběhů, zpravidla reprezentujících týž zdrojový proces (obr. Kapitola počáteční 1, Kapitola počáteční 7 nebo Kapitola počáteční 8). Na základě uvedených poznatků je tedy funkce popisující veličinu/signál, obecně vektorovou funkcí vektorového argumentu.

Obr. 7. Záznam signálu EEG
Obr. 8. Paralelní záznam veličin popisujících činnost srdce – a) a b) fonokardiogram snímaný ve dvou pozicích na hrudníku; c) signál EKG; d) ultrazvukový M-scan – vodorovná osa je stejně jako v případě výše znázorněných signálů časová, vertikální osa popisuje hloubku umístění jednotlivých struktur v hrudníku (zkratkou MVE a šipkami je vyznačen pohyb srdeční mitrální chlopně)

Konečně, pojem časová řada používáme pro označení posloupnosti hodnot navzorkované veličiny. Jak posléze uvidíme, v podstatě je opět synonymem pro pojem diskrétní signál a záleží jen a jen na disciplíně, kde je více používán ten či onen pojem. V technických oborech je zvykem používat pojem diskrétní signál, ve vědách netechnických se spíše používají a zpracovávají časové řady.

Definice 2.2. Časová řada je uspořádaná množina hodnot určité veličiny kde index určuje čas, kdy byla hodnota určena. V případě, že jsou časy rozmístěny na časové ose pravidelně, bývá výše uvedený zápis zjednodušován do formy

Druhým, zjednodušeným způsobem definičního zápisu časové řady je ale potlačována časová závislost sledované veličiny a je nahrazována pouhou závislostí na pořadí, což může být v různých situacích nežádoucí, na druhé straně tento zápis umožňuje použít teoretického aparátu časových řad i pro jiné formy závislosti, např. na prostorových souřadnicích.

Podobně jako na signál či veličinu lze nahlížet i na pojem data3, která také mají svou hmotnou (nosič dat – CD, notes, …) i nehmotnou informační složku (třeba datum a místo narození). Formálně lze chápat pojem data za obecnější. Signál a veličina jsou významově spojeny s dynamikou – v čase nebo prostoru (RTG snímek může být chápán jako dvourozměrný signál, kde nosičem je filmová folie, jejíž zčernání či prosvětlení primárně vyjadřuje míru pohlcování RTG záření v zobrazované tkáni - nezávislými veličinami jsou dvě prostorové souřadnice každého bodu na fólii a závislou veličinou je úroveň zčernání filmové fólie – obr. Kapitola počáteční 6), zatímco pojem data určitě a možná především používáme i při práci s časově, či prostorově neměnnými hodnotami.

Jistým dalším zobecněním je pojem proces4 (nikoliv náhodný proces, což je terminus technicus používaný ve statistice), který může být reprezentován několika signály vyjadřujícími tutéž veličinu, příp. i veličiny různé. Např. aktivitu mozkových buněk reprezentujeme záznamem elektroencefalografického (EEG) signálu (obr. Kapitola počáteční 7), který představuje paralelní záznam elektrického napětí mezi místy zpravidla na povrchu hlavy, kde jsou umístěny snímací elektrody, jako důsledek elektromagnetického pole vytvářeného průchodem lokálních elektrických proudů v a mezi mozkovými neurony. Druhým případem, kdy jsou veličiny různé, může být např. proces zdravotní péče v daném zdravotnickém zařízení, charakterizovaný pomocí měsíčně vykázaných údajů o vynaložených finančních prostředcích, počtem ošetřených pacientů, počtem využitých lůžek akutní péče,... Příklad medicínský představuje obr. Kapitola počáteční 8, zobrazující průběh různých veličin popisujících elektrickou i mechanickou funkci srdečního svalu.

Použité matematické prostředky budou nepochybně závislé na charakteru zpracovávané veličiny/signálu. Z pojmů, které jsme až dosud uvedli, či alespoň naznačili, jsou pro rozhodnutí o výběru matematických prostředků pro popis dat důležité zejména:

  1. determinovanost průběhu

Je-li tvar funkce popisující průběh signálu jednoznačně určen pro jakoukoliv přípustnou hodnotu argumentu tj. je možné vždy předem stanovit, jaké okamžité hodnoty nabude funkce v libovolném bodě definičního oboru, pak nazýváme signál a tím i modelovou funkci deterministickými. Modelem takového signálu je deterministická matematická funkce, např. kde je úhlová frekvence.

Nejsou-li, naopak, hodnoty signálu pro libovolnou hodnotu argumentu jednoznačné, hovoříme o signálu nedeterministickém, příp. často náhodném. Náhodný signál je jednou z možných realizací náhodného procesu , který vyjadřuje celkové vlastnosti chování zdroje dat. Náhodný proces i náhodnou veličinu5/signál jsme schopni popsat pouze jejich pravděpodobnostními charakteristikami. Jak již bylo dříve uvedeno, není to jediná možnost jak popsat nedeterministický průběh signálu, alternativou může být popis, jak již bylo dříve uvedeno, např. pomocí teorie mlhavých (fuzzy) množin a fuzzy logiky či algebry.

  1. spojitost či diskrétnost nezávislých veličin

Podle charakteru definičního oboru argumentů funkce popisující veličinu/signál budeme nadále rozlišovat veličiny/signály spojité a diskrétní, v případě více rozměrů může být jejich charakter i kombinovaný.

Pokud je definičním oborem O souvislá R rozměrná oblast, hovoříme o veličině/signálu spojité v oboru argumentů, který budeme značit – viz např. výše uvedená harmonická funkce

Skládá-li se ale definiční obor argumentů z izolovaných intervalů (bodů) této oblasti, nazýváme veličinu/signál diskrétní v oboru argumentů. Diskrétní signál a jeho parametry budeme označovat indexem (např. ), případně později, kdy už nebude hrozit nebezpečí záměny se symbolikou spojitých signálů, budeme používat symbolů bez jakéhokoliv označení. Snažíme se, aby body diskrétního oboru argumentů tvořily pravidelnou síť. Není to však nezbytnou podmínkou. Diskrétnost nezávislých proměnných může vyplývat buď z podstaty procesu (např. podle obr. Kapitola počáteční 2), nebo v čase diskrétní reprezentace může vzniknout vzorkováním původně spojité veličiny (např. obr. Kapitola počáteční 1). Modelem pravidelně vzorkovaného diskrétního signálu může být posloupnost daná předpisem kde je tzv. vzorkovací perioda (čas mezi každými dvěma vzorky) a celé číslo n určuje pořadí vzorku.

Analyzované veličiny mohou být diskrétní i z hlediska svých funkčních hodnot. Vzhledem k cílům tohoto textu ale tato skutečnost nebude nadále podstatná. Budeme nadále uvažovat veličiny, jejichž funkční hodnoty jsou z celého intervalu reálných čísel.

  1. periodičnost

Když se pro libovolnou nezávisle proměnnou průběh deterministické veličiny/signálu/funkce opakuje tak, že platí

(1)

pro libovolné celé k, je funkce periodická vzhledem k proměnné a je jeho perioda6. Je-li třeba, můžeme každou neperiodickou funkci, deterministickou i nedeterministickou, považovat za periodickou s periodou

Některé biologické či fyziologické procesy mají rytmický, téměř pravidelně se opakující průběh, že je lze, za jistých zjednodušujících předpokladů, považovat za periodické. Takové jsou např. signály odvozené od srdeční aktivity, částečně i z dýchání, procesy vázané na denní, měsíční, příp. i roční cyklus. Abychom zdůraznili odlišnost od přesné periodicity mnohých signálů technického původu, hovoříme v tomto případě o veličinách/signálech repetičních. Naopak, jiné veličiny mají natolik nepravidelný charakter, že k nim lze přistupovat jako k veličinám náhodným – elektrická aktivita kosterních svalů – elektromyogram (EMG) nebo spontánní EEG (obr. Kapitola počáteční 7). Jako protiklad výše zmíněných repetičních veličin je nazýváme nerepetiční.
 

 

 


1informace (lat. informatio) - představa, obrys, výklad, poučení; i laik v latinském originálu slova nepochybně pozná předponu „in-“ s významem do, v, na a kmen „forma“ vyjadřující tvar.

  • poznatek (znalost) týkající se jakýchkoliv objektů, např. faktů, událostí, věcí, procesů nebo myšlenek včetně pojmů, které mají v daném kontextu specifický význam (ISO/IEC 2382-1:1993 „Informační technologie – část I: Základní pojmy“).
  • název pro obsah toho, co se vymění s vnějším světem, když se mu přizpůsobujeme a působíme na něj svým přizpůsobováním. Proces přijímání a využívání informace je procesem našeho přizpůsobování k nahodilostem vnějšího prostředí a aktivního života v tomto prostředí (Wiener);
  • poznatek, který omezuje nebo odstraňuje nejistotu týkající se výskytu určitého jevu z dané množiny možných jevů.

2Matematický model je matematickými prostředky vyjádřený popis reálného děje, který můžeme považovat za projev chování nějakého daného reálného objektu, resp. systému. Z této formulace vyplývá, že matematického modelování se používá jak pro matematický popis signálů, tak i systémů.

3data (plurál, lat. datum) – dar, to co je dáno.

4proces ( lat. procēssus, od procēdēre ) - postupovat, táhnout vpřed, což je složenina z předpony prō- ve významu „před, pro, za“) a slovního kmene cēdēre („kráčet, stoupat“). Tedy shrnuto, slovo proces značí postup, pokrok, průběh.

5Pozor opět na částečný terminologický nepořádek. Statistika používá pojem náhodná veličina ve specifickém abstraktním významu a s určitými definičními vlastnostmi, v podstatě kolidujícím s našim spíše materiálním významem pojmu veličina.

6perioda (řec. περίοδος) - chození dokola.
 
vytvořil Institut biostatistiky a analýz Masarykovy univerzity | | zpětné odkazy | validní XHTML 1.0 Strict