4.1 Obrazová přenosová funkce

V kap. 2.1 Lineární diferenciální rovnice jsme dospěli k závěru, že je možné popsat dynamické vlastnosti systému pomocí diferenciální rovnice n-tého řádu vyjadřující vztah mezi vstupní a výstupní veličinou soustavy. Diferenciální rovnice popisující lineární soustavu v obecném tvaru uvádí vztah  Matematický popis systémů pracujících ve spojitém čase I (12) a je

kde a jsou buď konstanty, nebo maximálně funkce času. Tuto rovnici se nyní pokusme převést do Laplacovy obrazové oblasti, pokud funkce a mají své laplacovské obrazy a V lineárním případě a za předpokladu nulových počátečních podmínek můžeme s využitím Matematický popis systémů pracujících ve spojitém čase I (28) diferenciální rovnici přepsat do obrazového tvaru

	(31)
1

Laplacovou transformací jsme tedy diferenciální rovnici převedli na polynomiální algebraickou rovnici, což je současně prvním krokem řešení diferenciálních rovnic pomocí Laplacovy transformace. Algebraickou rovnici vyřešíme a získané řešení formálně zpětnou Laplacovou transformací převedeme zpět do originální domény. My ale nadále sledujme naše specifické zájmy. Vytkneme-li na příslušných stranách rovnice obrazové funkce a dostaneme

(32)

a podělíme-li obě strany výrazem máme konečně

(33)

kde funkci nazýváme obrazovou přenosovou funkcí soustavy, která je rovna poměru obrazů výstupní a vstupní veličiny (za předpokladu nulových počátečních podmínek).

Příklad 4.1. Určete obrazovou přenosovou funkci zapojení podle obr. Matematický popis systémů pracujících ve spojitém čase I 3.

Řešení. Diferenciální rovnici, která popisuje vlastnosti uvedeného náhradního elektrického modelu, jsem vypočítali v části 2.1 Lineární diferenciální rovnice a podle vztahu Matematický popis systémů pracujících ve spojitém čase I (11) je

Pokud mají funkce a Laplacovy obrazy a pak za předpokladu nulových počátečních podmínek můžeme psát

a tedy obrazová přenosová funkce daného obvodu je

 

Příklad 4.2. Určete obrazovou přenosovou funkci systému popsaného diferenciální rovnicí

Řešení.

 

Příklad 4.3. Určete diferenciální rovnicí popisující systém, jehož vlastnosti jsou dány obrazovou přenosovou funkcí

Řešení.

¹ Protože už dobře víme o komplexním charakteru obrazových funkcí, nebudeme kvůli pohodlí už dále (až na ojedinělé výjimky) jejich komplexnost tečkou nad označením funkce zdůrazňovat.