3.2 Důležité vlastnosti Laplacovy transformace
Podobně jako u Fourierovy transformace uveďme nyní některé potřebné vlastnosti Laplacovy transformace. Podrobnější rozbor a důkazy jednotlivých vlastností je uveden zde Laplaceova transformace.
- linearita – princip superpozice
Nechť je laplacovským obrazem funkce tj. a také Nechť dále jsou a konstanty. Pak
(18) | |
Je-li oblast konvergence Laplacovy transformace funkce a pro případ funkce pak pro výslednou oblast konvergence lineární kombinace obou funkcí platí
(19) |
Totéž samozřejmě platí i pro jednostrannou Laplacovu transformaci.
oblast konvergencie | ||
- inverze časové osy
(20) |
- změna časového měřítka
(21) |
- posun v časové oblasti
(22) |
- posun v obrazové oblasti
(23) |
- derivace v časové oblasti
Pro jednostrannou Laplacovu transformaci derivace funkce je pomocí integrace per partes
(24) |
První člen na pravé straně výrazu je po dosazení mezí roven a druhý člen Z toho plyne, že pro první derivaci funkce je Laplacův obraz roven
(25) |
a za předpokladu nulové počáteční podmínky
(26) |
Pro n-tou derivaci je podobně
(27) |
resp. opět za nulových počátečních podmínek je
(28) |
- integrace v časové oblasti
(29) |
- konvoluce v časové oblasti
(30) |